<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          7 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06259-0 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio

 Sexta Parte

 Captulo 11

 Usando letras em 
  Matemtica :::::::::::::: 585
 Comunicando ideias :::::::: 585
 Calculando com letras ::::: 611
 Ao -- 
  Corrida algbrica ::::::: 625
 Um toque a mais --
  Frmulas no 
  computador ::::::::::::::: 632

 Captulo 12

 Permetros, reas 
  e volumes :::::::::::::::: 640 
 Permetros e reas :::::::: 640
 Ao --
  A geometria do 
  tangram :::::::::::::::::: 640
 Volumes ::::::::::::::::::: 655
 Volume do bloco 
  retangular ::::::::::::::: 668
<p>
 Um toque a mais --
  Um quilograma de chumbo 
  e um de algodo :::::::::: 678

 Captulo 13

 Equaes :::::::::::::::::: 684
 Letras para achar 
  nmeros desconhecidos :::: 684 
 Usando letras para 
  resolver problemas ::::::: 692 
 Resolvendo equaes ::::::: 703
 Regra de trs ::::::::::::: 716
 Um toque a mais --
  O famigerado problema 
  das torneiras :::::::::::: 729


<223>
<Tmat. i. & l. 7>
<T+585>
 Captulo 11

 Usando letras em Matemtica

 Comunicando ideias

  A Matemtica  usada e ensinada no mundo todo. Convidamos voc a ver um trecho de uma aula na Frana.

<R+>
_`[{dois quadrinhos de uma aula na Frana; contedo a seguir_`]
 1 quadrinho: O professor diz: "L'aire d'un rectangle est le produit des mesures des cts perpendiculaires". O aluno diz: "Parbleu! 
Quelle rudiction!". 
 2 quadrinho: No quadro-de-giz h um retngulo desenhado com os lados *b* e *c*, abaixo est escrito: A=bc. O professor ento diz: 
"En abrg, on crit...". O aluno diz: "Magnifique!".
<R->
<p>
  Agora observe um trecho de uma aula sobre o mesmo assunto na 
 Alemanha.

<R+>
_`[{dois quadrinhos de uma aula na Alemanha; contedo a seguir_`]
 1 quadrinho: A professora diz: "Um die flche eines vierecks zu finden, muss man die 
  lngenmasse von den 
  rechtwinkligen seiten 
  multiplizieren". A aluna diz: "Das ist zu schwer!".
 2 quadrinho:  A professora diz: "Kurzum, es gilt die forme:". No quadro-de-giz h um retngulo desenhado com os lados medindo *x* 
e *y*, abaixo est escrito: A=x.y. A aluna diz: "Prchtige!".
<R->

<224>
  Mesmo sem entender a lngua, voc deve ter percebido que o assunto dessas aulas  a rea do retngulo. Se a aula fosse no Brasil, mudariam as palavras, mas, no final, usaramos praticamente a mesma frmula para expressar a rea do retngulo: A=bc ou A=xy ou A=cl. Todas essas frmulas transmitem uma mesma informao.
  Por exemplo, se *b* vale 2 cm e *c* vale 3,1 cm, teramos:
 A=bc
 A=2 cm3,1 cm
 A=6,2 cm2
  As letras *b* e *c* representam nmeros que podem variar. Por isso, so chamadas variveis.
  As frmulas so teis por serem a maneira mais resumida de comunicar ideias matemticas. Alm disso, a linguagem das frmulas  universal.
  Vejamos outro exemplo. Imagine um supermercado que vende cada produto de limpeza com acrscimo de 10% sobre o preo de custo. (Desse acrscimo, vem o lucro do supermercado.) Se forem pagos 3 reais por um produto, o preo de venda ser 3+#:aj, ou seja, 3,30 reais, pois podemos calcular os 10% dividindo a quantia por 10.
<p>
  Num supermercado, pode ser necessrio calcular o acrscimo de 10% para muitos produtos. Isso costuma ser feito em computadores, usando programas chamados planilhas eletrnicas. Para utilizar com mais proveito esses programas, convm ter algum conhecimento sobre frmulas.
  No caso do acrscimo de 10%, o preo de compra C  registrado numa das colunas da planilha ele-
 trnica. Veja a tela do computador:

<R+>
_`[{tela de um computador adaptada; contedo a seguir_`]
<F->
Coluna A: Produto
  linha 4: C 1987
  linha 5: C 1990
  linha 6: C 1992
  linha 7: C 1997
  linha 8: C 1999
Coluna B: Tipo
  linha 4: limpa-vidros B
  linha 5: limpeza geral A
  linha 6: limpeza geral B
<p>
  linha 7: lustra-mveis A
  linha 8: lustra-mveis C
Coluna C: Preo de compra C
  linha 4: R$1,25
  linha 5: R$3,70
  linha 6: R$4,10
  linha 7: R$3,80
  linha 8: R$3,85
Coluna D: Preo de venda V
  linhas esto em branco
<F+>
<R->

<225>
  Depois, digita-se V=C+C10 na coluna de preo de venda. Com base nisso, o computador calcula e exibe, em instantes, o preo de venda na coluna correspondente.

<R+>
_`[{tela de um computador adaptada; contedo a seguir_`]
<F->
Coluna A: Produto
  linha 4: C 1987
  linha 5: C 1990
  linha 6: C 1992
  linha 7: C 1997
  linha 8: C 1999
<p>
Coluna B: Tipo
  linha 4: limpa-vidros B
  linha 5: limpeza geral A
  linha 6: limpeza geral B
  linha 7: lustra-mveis A
  linha 8: lustra-mveis C
Coluna C: Preo de compra C
  linha 4: R$1,25
  linha 5: R$3,70
  linha 6: R$4,10
  linha 7: R$3,80
  linha 8: R$3,85
Coluna D: Preo de venda V=C+C10
  linha 4: R$1,37
  linha 5: R$4,07
  linha 6: R$4,51
  linha 7: R$4,18
  linha 8: R$4,23
<F+>
<R->

  Nesse exemplo, as frmulas mostraram-se teis por serem a maneira mais eficiente de dar instrues a um computador. Neste livro e em seus prximos anos de estudo, 
voc ver muitas outras situaes em que se usam frmulas.
<p>
 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Voc acha que na China as pessoas conseguem ler o que est escrito no quadro-de-giz das duas histrias apresentadas no texto?
 b) Explique com suas palavras por que  til usar letras na Matemtica.
 c) Na sua opinio, o que  uma frmula?
 d) Se no supermercado fossem acrescentados 30% ao preo de compra de qualquer produto, qual seria a frmula que relaciona V com C?
 e) Numa frmula,  importante saber o significado das letras que nela aparecem. Se voc conhece alguma frmula, mostre-a e d o significado das letras.
 f) Releia os quadrinhos do texto. Voc consegue descobrir o significado de alguma palavra?

<226>
<p>
Problemas e exerccios

 1. Observe os polgonos regulares e o *ngulo central* de medida *a*:

_`[{figuras: tringulo equiltero, quadrado, pentgono e hexgono inscritos em circunferncia cada um e, um ngulo central *a* 
indicado. A professora diz: "No hexgono regular, a medida *a*  igual a 360 dividido por 6"_`]

 a) Copie e complete a tabela no caderno:

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de lados do polgono regular
 2 coluna: Clculo
 3 coluna: Medida do ngulo central
<p>
 !:::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3 _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 3  _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 4  _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 5  _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w
 l 6  _ ''' _ ''' _
 h:::::j:::::j:::::j

 b) Responda: quanto mede o ngulo central do polgono regular de 20 lados?
 c) Escreva uma frmula que relacione a medida *a* do ngulo central do polgono regular com o nmero *n* de lados do polgono (*n* pode ser 3, 4, 5 etc).

 Procure no dicionrio: ngulo central.
<p>
 2. Um vendedor ambulante compra relgios de diversos preos no Paraguai e os revende, acrescentando ao preo de custo metade desse valor.
 a) Por quanto ele vende um relgio que custa R$65,00?
 b) Escreva a frmula que fornece o preo de venda em funo do preo de custo. Use V para o preo de venda e C para o preo de custo.

 3. Uma pessoa tem 5 notas de *x* reais e 7 notas de *y* reais.
 a) Usando as variveis *x* e *y*, informe quanto dinheiro essa pessoa tem.
 b) Se a pessoa comprar e pagar um objeto que custa *z* reais, com quanto ela ficar?

 4. Em certa cidade, os taxistas cobram a corrida desta maneira: R$3,20 de bandeirada, somados a R$1,50 por quilmetro roda-
<p>
  do; a bandeirada  paga mesmo se voc rodar zero quilmetro.
 a) Qual  o preo de uma corrida de 5 km?
 b) E o de uma corrida de 16 km?
 c) Copie e complete a frase no caderno, fazendo uma generalizao: O preo P de uma corrida de *x* quilmetros pode ser obtido com a frmula P=''' 
  *Dica*: as operaes que voc faria com o nmero de quilmetros percorridos, voc far com a letra *x*. A diferena  que os clculos so apenas indicados, isto , no so efetuados.

 5. Veja a sequncia de figuras:

_`[{figuras adaptadas; o smbolo o representa uma bola_`]

<F->
1 o

2 o o
      o
<p>
3 o o o
      o o

4 o o o o
      o o o

5 o o o o o
      o o o o
<F+>

<227>
 a) Mantendo o padro, desenhe as figuras 6 e 7.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 b) Copie e complete a tabela no caderno. *Dica*: para achar o nmero de bolas das figuras 10, 20 etc., descubra um padro relacionando o nmero de bolas com o nmero da figura.
<p>
 !::::::::::::::::::
 l figura _ nmero   _
 l        _ de bolas _
 r::::::::w::::::::::w
 l 1     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 2     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 3     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 4     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 5     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 6     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 10    _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 20    _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 100   _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l n      _ '''      _
 h::::::::j::::::::::j

_`[{a coruja diz: "Nas ltimas linhas  mais difcil!"_`]

 6. Observe as duas figuras, formadas por retngulos:

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 la -- laranja
 az -- azul

<F->
  !::::::::::
a l la _  la  _
  h::::j::::::j
    b      c

       $::::
       _ az _ m
  !::::w::::w
x l az _ az _
  h::::j::::j
    y    l
<F+>

  Podemos escrever uma frmula para a rea da figura laranja de duas maneiras: A=a.b+a.c ou A=a.b+c.
  Agora, um pequeno desafio. Mostre trs maneiras diferentes de escrever uma frmula para expressar a rea da figura azul.
<p>
 7. Veja a sequncia dos nmeros quadrados e sua representao figurada:

_`[{figuras adaptadas; o smbolo o representa uma bola_`]

<F->
1 o   

4 oo
   oo

9 ooo   
   ooo      
   ooo       
               
16 oooo
    oooo
    oooo
    oooo
<F+>
<p>
 a) Copie e complete a tabela no caderno. *Dica*: a figura 4 tem 42, isto , 16 bolas.

 !::::::::::::::::::
 l figura _ nmero   _
 l        _ de bolas _
 r::::::::w::::::::::w
 l 1     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 2     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 3     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 4     _ 16      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 5     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 6     _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 10    _ '''      _
 r::::::::w::::::::::w
 l 20    _ '''      _
 h::::::::j::::::::::j
<p>
 b) Nessa sequncia, indicaremos por Qn (l-se qu ene) o nmero de bolas da figura de nmero *n*. No caderno, copie e complete a frmula Qn='''

<228>
 Problemas e exerccios para casa

 8. Copie e complete as tabelas no caderno:
 a)
 !::::::::::::::
 l n   _ 2.n+3 _
 r:::::w:::::::::w
 l 3  _ 9      _
 r:::::w:::::::::w
 l 4  _ '''     _
 r:::::w:::::::::w
 l 7  _ '''     _
 r:::::w:::::::::w
 l 10 _ '''     _
 h:::::j:::::::::j
<p>
b)
 !::::::::::::::
 l n   _ 3.n-1 _
 r:::::w:::::::::w
 l -5 _ '''     _
 r:::::w:::::::::w
 l -2 _ '''     _
 r:::::w:::::::::w
 l 0  _ '''     _
 r:::::w:::::::::w
 l 2  _ '''     _
 h:::::j:::::::::j

 9. Faa o que se pede.
 a) Na escola de Jairo, o professor de Lngua Portuguesa aplicou trs provas no bimestre. Ele calcula a mdia dos alunos com esta frmula: M=?P1+P2+P3*3 (Na frmula, P1, P2 e P3 representam as notas de cada prova.)
  Qual  a mdia de um aluno que obteve 6,5 na primeira prova, 8 na segunda e 9,5 na terceira?
<p>
 b) Na escola de Vanessa, o professor de Lngua Portuguesa tambm aplicou trs provas. Entretanto, para obter a nota final dos alunos, ele usa a *mdia aritmtica ponderada*, considerando que a terceira prova tem peso 2. Assim, no clculo da mdia, a nota P3 ser multiplicada por 2 e a soma das notas ser dividida por 4. Calcule a mdia de quem teve P1=7,5, P2=6,5 e P3=7,5.
 c) Escreva a frmula que o professor de Vanessa deve usar para calcular a mdia.

 Procure no dicionrio: mdia aritmtica ponderada.

 10. Cada uma das sentenas de 1 a 5 tem sua correspondente de *a* a *e*. Por exemplo: 1 corresponde a *d*. Relacione as demais.
<p>
 1) Na adio, a ordem das parcelas no muda o resultado.
 2) Um nmero somado a seu dobro resulta em seu triplo.
 3) O triplo de um nmero dividido por 3 resulta no prprio nmero.
 4) Qualquer nmero multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
 5) O triplo de um nmero dividido pelo prprio nmero resulta em 3. (Isso no vale para o zero.)
 a) 1.p=p
 b) ?3.x*x=3, se x=0
 c) ?3.x*3=x
 d) a+b=b+a
 e) k+2.k=3.k

 11. Reescreva as frases seguintes usando variveis para representar os nmeros.
 a) Um nmero natural  somado com seu sucessor.
 b) O triplo de um nmero  somado com 10% do nmero.
 c) Um nmero  multiplicado por 3 e dividido por 2.
 d) De certo nmero subtramos sua tera parte.

 12. O dono de uma loja de som vai calcular o preo V de venda de cada CD acrescentando 10% ao preo C de custo mais R$4,00 de impostos.
 a) Escreva a frmula que relaciona V com C.
 b) Use a frmula e calcule V para C=R$18,00.
 c) Copie e complete a tabela.

 !:::::::::::::::::::::::::
 l Cdigo _ C     _ V     _
 r:::::::::w::::::::w::::::::w
 l AA    _ 15,50 _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w::::::::w
 l AB    _ 16,50 _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w::::::::w
 l BB    _ 17,00 _ '''    _
 r:::::::::w::::::::w::::::::w
 l CB    _ 18,00 _ 23,80 _
 r:::::::::w::::::::w::::::::w
 l CC    _ 19,50 _ '''    _
 h:::::::::j::::::::j::::::::j

<229>
 13. Observe a sequncia de figuras:

_`[{figuras adaptadas; o smbolo o representa uma bola_`]

<F->
2 o  
   o     
          
6 o o
   o o 
   o o 

12 o o o  
    o o o      
    o o o      
    o o o      
                 
20 o o o o
    o o o o
    o o o o
    o o o o
    o o o o
<F+>

 a) O nmero de bolas da figura 1  F1=2, da figura 2  F2=6, e da figura 3  
<p>
  F3=12. Qual  o valor de F7?
 b) Complete a frmula Fn=''' 
  *Dica*: relacione essa sequncia de figuras e os nmeros F1, F2 etc. com as figuras e os nmeros quadrados do problema 7.

 14. Num lado da piscina h 5 lajotas quadradas e no outro, 3. Note que so 20 as lajotas no seu contorno.

_`[{figuras adaptadas; o smbolo y representa uma lajota quadrada_`]

<F->
yyyyyyy
y          y
y          y
y          y
yyyyyyy
<F+>

  Copie a tabela no caderno e complete-a. Imagine piscinas rodeadas de lajotas, como a que se v na figura anterior.

_`[{tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de lajotas em cada lado da piscina
 2 coluna: Nmero de lajotas no caderno

 !::::::::::::::::
 l 1       _ 2 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 1 e 2   _ 10 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 3 e 4   _ ''' _
 r:::::::::::w:::::w
 l 3 e 5   _ 20 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 5 e 7   _ ''' _
 r:::::::::::w:::::w
 l 18 e 20 _ ''' _
 r:::::::::::w:::::w
 l m e n     _ ''' _
 h:::::::::::j:::::j
<p>
 15. Com 3 palitos de fsforo, fao um tringulo. Depois, acrescentando sempre 2 palitos, vou obtendo novos tringulos. Veja:

<F->
           ccccccm
                
               
------u  ------u

   ccccccm
          
           
------u------u

   ccccccmccccccm
              
             
------u------u
<F+>
<p>
 a) Copie e complete a tabela no caderno:

 !:::::::::::::::::::::::::
 l Nmero de  _ Nmero de _
 l tringulos  _ palitos    _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 1          _ 3         _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 2          _ 5         _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 3          _ '''        _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 4          _ '''        _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 10         _ '''        _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 15         _ '''        _
 r:::::::::::::w::::::::::::w
 l 20         _ '''        _
 h:::::::::::::j::::::::::::j

 b) No caderno, copie e complete a seguinte sentena, que se refere s figuras com palitos deste exerccio: O nmero de palitos  igual ao nmero de tringulos '''
 c) Se *p* representa o nmero de palitos e *t* o nmero de tringulos, qual  a frmula que relaciona *p* com *t*?
<R->

<230>
 Calculando com letras

  Voc j aprendeu diversos tipos de clculos com nmeros. Em especial, sabe calcular o valor de expresses numricas. Agora, vamos efetuar clculos com expresses literais, ou seja, expresses com letras que representam nmeros.
  Parece impossvel fazer clculos com letras, mas, aos poucos, voc ver como isso funciona. Muitos desses clculos seguem o mesmo raciocnio daqueles que fazemos com nmeros.
<p>
Exemplo 1

  Observe como o menino raciocina neste clculo:

<R+>
_`[{o menino, olhando para o qua-
  dro-de-giz onde est escrito: "3.17+7.17=10.17", diz: "3 vezes 17 mais 7 vezes 17... d 10 vezes 17!"_`]
<R->

  Usando o mesmo raciocnio fazemos este clculo com letras: 3.x+7.x=10.x.
  No caso do clculo com nmeros, podemos efetuar a multiplicao 10.17 obtendo o produto 170. Mas no clculo com letras isso no  possvel. A multiplicao 10.x fica indicada, no  efetuada, e a expresso no pode ser mais reduzida.
<p>
Exemplo 2

  Veja como a menina multiplica mentalmente:

<R+>
_`[{a menina diz: "6 vezes 13? Fao 6 vezes 10, que d 60. Depois, fao 6 vezes 3, que d 18. Em seguida, somo 60 mais 18, que d 78.
Pronto!"_`]
<R->

  Para multiplicar, a menina decomps 13 em duas parcelas: 6.13=6.10+3.
<231>
  Depois, ela multiplicou por 6 cada parcela, isto , ela "distribuiu" a multiplicao por 6 entre as parcelas. Observe: 
 6.10+3=6.10+6.3=60+18=
  =78
  Assim como "distribumos" a multiplicao numa expresso numrica, fazemos o mesmo numa expresso com letras: 6.x+5=
 =6.x+30.
<p>
  Como a multiplicao pode ser "distribuda" entre as parcelas, dizemos que a multiplicao tem a propriedade distributiva em relao  adio.

Exemplo 3

  A diviso tambm tem a propriedade distributiva em relao  adio:
<R+>
  expresso numrica
 ?600+15*3=6003+153=
  =200+5=205
  expresso com letras
 ?10.x+5*5=?10.x*5+55=
  =2.x+1

_`[{o menino pergunta: "Mas onde vou usar isso?". A professora responde: "Veja o prximo exemplo"_`]
<R->

Exemplo 4

  Imagine um retngulo em que um lado  o dobro do outro. Como no sabemos a medida dos lados, estabelecemos que um mede *x* e outro 2.x, porque  o dobro do primeiro. O permetro desse retngulo : P=2.x+x+2.x+x.

<F->
      2.x
  !:::::::::::
x l           _ x
  l           _
  h:::::::::::j
      2.x
<F+>

  Essa frmula comprida pode ser simplificada com um pequeno clculo.
  Como 2+1+2+1=6, resulta: P=6.x.

<R+>
_`[{a professora diz: "Concluso: efetuando clculos com letras, voc simplifica muitas frmulas". O menino pergunta: "S isso?". A 
professora ento responde: "Por enquanto, sim. Mas logo voc ver que esses clculos tm vrias aplicaes"_`]
<R->

<232>
  Aos poucos, voc est conhecendo um campo novo da Matemtica, no qual usamos frmulas e calculamos com expresses literais. Essa parte da disciplina chama-se lgebra. Em outra ocasio, explicaremos a origem desse nome.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Clculos com letras tm pelo menos uma utilidade. Voc sabe dizer qual ?
 b) Vamos fazer multiplicaes mentalmente, seguindo o mtodo apresentado no texto:
5.13; 4.23; 6.15; 3.25.
 c) Voc pode explicar o que  a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio? Verifique se est correta a distribuio da multiplicao 
  neste caso: 8.10-3=
  =8.10-8.3.
 d) A multiplicao tem a pro-
  priedade distributiva em relao  subtrao?
<p>
 e) Voc j ouviu falar tambm da propriedade comutativa, que vale para a adio e a multiplicao. Explique do que se trata.
 f) Leia a histria:

_`[{histria em quatro quadrinhos_`]
 1 quadrinho: Um menino diz para a menina: "Hoje quero discutir com voc sobre expresses ou $"equaes$"". A menina est atenta.
 2 quadrinho: O menino continua: "Esse conceito ser levado adiante quando voc comear a estudar lgebra!". A menina grita: "lgebra?".
 3 quadrinho: A menina continua gritando: "No me fale em lgebra! Eu nem entendo Matemtica! Voc vai me enlouquecer!!!".
 4 quadrinho: A menina continua: "Estou ficando doida e ningum d bola!!". O menino fica parado.

  A menina disse que no entende Matemtica. Com voc acontece o mesmo?
  Voc comeou a aprender lge-
  bra. Conhecer as equaes no captulo 13, mas j viu alguns clculos com expresses algbricas. Voc acha que a lgebra  to assustadora quanto parece para a menina?

<233>
 Problemas e exerccios

 16. Efetue os clculos seguindo os exemplos do texto. O resultado ser uma expresso, como -3.x ou 3.x+2 etc.
 a) 3.x-18.x
 b) 3.x-5.x+7.x
 c) 5.x+7-35
 d) ?6.x+15*3-5

 17. Como no exemplo 4 do texto, expresse com uma frmula o permetro P de cada retngulo da maneira mais simples possvel:
<p>
 a)
<F->
       x
     !:::
     l   _
     l   _
3.x l   _ 3.x
     l   _
     l   _
     h:::j
       x

b)
        x
     !:::::
     l     _
     l     _
x+2 l     _ x+2
     l     _
     h:::::j
        x
<p>
c)
       2.x
     !::::::
     l      _
     l      _
3.x l      _ 3.x
     l      _
     l      _
     h::::::j
       2.x

d)
       x+1
     !::::::
     l      _
     l      _
     l      _
x+3 l      _ x+3
     l      _
     l      _
     l      _
     h::::::j
       x+1
<F+>

_`[{a professora diz: "*Dica*: Nos itens b) e d), o resultado  do tipo '''x+'''"_`]

 18. Este  um desafio!
  Imagine uma cidade em que h *x* casas com 3 moradores, *y* casas com 4 moradores e *z* casas com 5 moradores. No h casas com menos de 3 pessoas nem mais de 5. Imagine ainda que, nessa cidade, todos os dias, *w* pessoas vo trabalhar em uma cidade vizinha. 
 a) Escreva uma expresso literal com *x*, *y* e *z* que d a populao dessa cidade.
 b) Escreva outra expresso que informe quantos habitantes ficam na cidade quando os demais vo trabalhar na cidade vizinha.
 c) Sabe-se que w=2.x+2.y+2.z.
  Reescreva a expresso anterior, substituindo *w* por 2.x+2.y+
  +2.z.
  Depois, simplifique a expresso obtida.
<p>
 19. Leia:

_`[{o menino diz: "7, 8 e 9 so nmeros naturais consecutivos. 100, 101 e 102 tambm so nmeros naturais e consecutivos"_`]

 a) Qual  o consecutivo do nmero natural *n*?
 b) Qual  o consecutivo do consecutivo do nmero natural *n*?
 c) Some trs nmeros naturais consecutivos, considerando *n* o primeiro deles. Divida o resultado por 3. Efetuadas as operaes, o que se obtm?  o primeiro dos trs nmeros?  o segundo?

<234>
 20. Leia a histria:

_`[{histria em quatro momentos_`]
 1 momento: A professora diz para a aluna: "Pense em um nmero. Zero no vale. Depois, some 4 ao nmero". A menina est pensativa.
<p>
 2 momento: A professora continua: "Agora, multiplique o resultado por 2 e subtraia 8". A menina responde: "J fiz".
 3 momento: A professora continua: "Divida pelo nmero que voc pensou no comeo". A menina pensa: "2".
 4 momento: A professora diz: "O resultado  2, no ?". A menina responde: "Uau! Voc l pensamentos!".

 a) Suponha que a menina tenha pensado no nmero 5. Faa os clculos que a professora pediu. O resultado  2?
 b) Faa o mesmo para o nmero 2,1. O resultado muda?
 c) Agora, faa o mesmo para o nmero -4. Qual  o resultado?

 21. No exerccio anterior, explique como a professora pde adivinhar o nmero que a menina pensou.

 Resoluo

  Como no sabemos qual  o nmero que a menina pensou, vamos represent-lo por *x*.
  Nmero pensado: x
  Somando 4 a ele: x+4
  Multiplicando o resultado por 2: 2.x+4
  Subtraindo 8: 2.x+4-8
  Dividindo pelo nmero inicial: ?2.x+4-8*x
  Agora, efetuamos os clculos: ?2.x+4-8*x=?2.x+8-8*x=
  =?2.x*x=2

_`[{a professora diz: "8-8 d zero. 2.x dividido por *x* d 2"_`]

  Conclumos que o resultado final desses clculos  sempre 2. No   toa que a professora "adivinhou" o resultado!
<p>
 22. Pense em um nmero, some 5, multiplique o resultado por 7, subtraia 35 e divida tudo por 7.
 a) Faa os clculos, considerando que *x*  o nmero que voc pensou.
 b) Nessa situao, se algum pensar no nmero 123,05, qual ser o resultado aps os clculos combinados? E se pensar no nmero -23?
<R->

<235>
 Ao

 Corrida algbrica

  Forme um grupo com mais dois colegas.
  Voc vai usar a trilha e os cartes da corrida algbrica.
  Os cartes, embaralhados, ficam empilhados com as expresses voltadas para baixo.
  Os pontos de um dado sero considerados positivos e os do outro dado, negativos.

 Regras do jogo

  Cada jogador, na sua vez, retira um carto da pilha, observa a expresso e decide se quer lanar o dado positivo ou o dado negativo.
  Com o nmero sorteado no dado, o jogador calcula o valor da ex-
 presso. Se esse valor for 10, por exemplo, o jogador avanar 10 casas na trilha (use uma bolinha de papel para marcar sua posio). Mas, se o valor for -4, o jogador retroceder 4 casas.
  Vence quem primeiro der trs voltas no tabuleiro.
  Os detalhes do jogo voc combina com seus colegas.

<R+>
 Problemas e exerccios para casa

 23. Copie e complete as expresses no caderno. Cada lacuna deve ser trocada por um s nmero.
 a) 387+587+287='''
  87='''
 b) 6243=?600+'''*3='''
 c) 349=3410-1='''-
  -34='''
 d) 1799=17100-1='''-
  -17='''

 24. Quais igualdades so verdadeiras?
 a) 7.(10+3)=7.10+7.3
 b) a+b=b+a
 c) a.b+c=a.b+a.c
 d) 2.c2=c

<236>
 25. Para cada polgono, escreva uma frmula que relacione o permetro *p* com *x*. A frmula deve ser a mais simples possvel.
<F->
a)
     
      
 x      3.x-2
        
         
----------u
  2.x+2

b)
          aa.
 2.x   a    a.  3.x-2
      a        a. 
                
     x          x
        ------
          3.x

c)
     4.x
  !::::::::
x l        _ x
  h::::::::j
     4.x

d)
     2.x+1
     !::::
x+3 l    _ x+3
     h::::j
     2.x+1
<F+>

 26. Pense em um nmero diferente de zero, multiplique-o por 4, subtraia do resultado o nmero 
  pensado e, finalmente, divida tudo tambm pelo nmero pensado.
 a) Faa os clculos, supondo que *y*  o nmero que voc pensou.
 b) Se voc tiver pensado no nmero 32,098, qual ser o resultado desses clculos?
 c) Por que o nmero pensado no pode ser zero?

 27. Uma pessoa, com 7 cdulas de *x* reais e 4 cdulas de *y* reais, vai ao supermercado e gasta 2.x+y reais.
 a) Escreva uma expresso literal que informe quanto a pessoa tinha antes das compras.
 b) Escreva uma expresso literal informando com quanto a pessoa ficou depois das compras. Simplifique a expresso.

 28. Pense em um nmero, some a ele 4 e multiplique o resultado por 6. Depois, subtraia 24 e divida por 2.
 a) Represente o nmero pensado por *x* e faa os clculos. Qual  o resultado?
 b) Se o resultado dos clculos for 12,6, qual ser o nmero pensado?

 29. Escreva estas frmulas de maneira mais simples:
 a) F=2.k+3.k+3.k-2
 b) a=2.y-5.y+4.3y-5
 c) B=?4.x-6.x-8-48*2
 d) g=?3.x+5.2.x+1-5*13

 30. Esta figura  formada por dois retngulos:

_`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
 la -- laranja
 ve -- verde

<F->
             _ccccc
             _     _
             _     _
    !::::::::w     _ 
    l        _  la _ 12
10 l   ve   _     _
    l        _     _
    h::::::::j:::::j
      6-x      x
<F+>
<p>
 a) Um dos lados do retngulo verde tem medida 10 e outro, medida 6-x. Sua rea  10.6-x. Agora, informe a rea do retngulo laranja e calcule a rea total da figura somando as reas das partes e simplificando a expresso obtida.
 b) Se *x* for igual a 2, qual ser a rea total da figura?
 c) E se *x* for igual a 3, qual ser a rea total da figura?
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  entender o significado de frmulas e usar algumas;
  escrever frmulas para certas situaes-problema;
  efetuar clculos literais simples.
<R->

<237>
<p>
 Um toque a mais

 Frmulas no computador

  Para entender este texto, convm conhecer algumas palavras relacionadas aos microcomputadores. Por exemplo: *cursor*, *mouse*, *selecionar*. Explic-las tornaria o texto longo e cansativo. Entretanto, elas podem ser entendidas em poucos minutos se voc puder usar um computador e receber algumas explicaes de um instrutor.
  Voc j aprendeu algo sobre frmulas matemticas, nas quais aparecem letras representando nmeros. Saber usar frmulas  til para quem trabalha no computador com programas chamados planilhas eletrnicas.
  Nessas planilhas, a tela aparece como uma tabela no preenchida. As colunas so indicadas por letras e as linhas por nmeros. Cada clula pode ser indicada por uma letra e um nmero:
<p>
 !::::::::::::::::::::::
 l    _ A   _ B   _ C   _
 r::::w::::::w::::::w::::::w
 l 1 _ A1 _ B1 _ C1 _
 r::::w::::::w::::::w::::::w
 l 2 _ A2 _ B2 _ C2 _
 h::::j::::::j::::::j::::::j

  Voc pode usar a tabela para elaborar catlogos de endereos, listas de compras ou relaes de quaisquer objetos. As lojas costumam registrar na planilha todas as vendas efetuadas num certo perodo, incluindo preo unitrio, total vendido etc. Veja um exemplo:

<R+>
_`[{tela de um computador adaptada; contedo a seguir_`]
<F->
Coluna A:
  linha 1: Nmero de venda
  linha 2: 1
  linha 3: 2
  linha 4: 3
<p>
Coluna B:
  linha 1: Cdigo do produto
  linha 2: TS-12
  linha 3: AI-14
  linha 4: XR-23
Coluna C:
  linha 1: Preo unitrio
  linha 2: 34,00
  linha 3: 12,50
  linha 4: 15,00
Coluna D:
  linha 1: Quantidade
  linha 2: 03
  linha 3: 12
  linha 4: 05
Coluna E:
  linha 1: Preo total
  linha 2: em branco
  linha 3: em branco
  linha 4: em branco
<F+>
<R->

  Nesse exemplo, seria interessante que o programa fizesse os clculos para que a ltima coluna (preo total) fosse preenchida.
<p>
  Nesse caso, devem-se multiplicar os preos unitrios pelas quantidades. Assim, na clula E2, entra o produto dos valores das clulas C2 e D2. A maneira de indicar essa multiplicao varia de programa para programa. Numa das planilhas mais populares, o cdigo  este: =C2*D2. Note que o sinal * (asterisco) equivale ao sinal  (multiplicao).
  Muito bem, se digitamos =C2*D2 na clula E2 e pressionamos a tecla *Enter*, aparece o valor 102,00 nessa clula, que  o resultado de 334,00.

<238>
<R+>
_`[{o menino pergunta: "Mas s isso? E as outras clulas? Preciso digitar =C3*D3 e =C4*D4 e tudo o mais?"_`]
<R->
<p>
  De fato, se fosse assim, no compensaria usar tais programas. Numa grande loja, as colunas de preo unitrio, quantidade, preo total etc. podem ter centenas de clulas. Digitar o clculo em cada uma delas daria muito trabalho. No entanto, o programa pode interpretar o C2 e o D2 digitados como variveis. O C2 pode indicar qualquer valor da coluna C e o D2 qualquer valor da coluna D. Como isso  feito?
  Usando o *mouse*, selecionamos a clula E2, em que digitamos a frmula e na qual est agora o valor de 102,00. A clula aparece escurecida na tela do computador.
  Depois, colocamos o cursor no canto direito inferior da clula e, com o *mouse*, arrastamos a seleo por toda a coluna E. Com isso, vo aparecendo os valores de C3*D3, C4*D4 e assim por diante. A tabela ficar assim:
<p>
<R+>
_`[{tela de um computador adaptada; contedo a seguir_`]
<F->
Coluna A:
  linha 1: Nmero de venda
  linha 2: 1
  linha 3: 2
  linha 4: 3
Coluna B:
  linha 1: Cdigo do produto
  linha 2: TS-12
  linha 3: AI-14
  linha 4: XR-23
Coluna C:
  linha 1: Preo unitrio
  linha 2: 34,00
  linha 3: 12,50
  linha 4: 15,00
Coluna D:
  linha 1: Quantidade
  linha 2: 03
  linha 3: 12
  linha 4: 05
Coluna E:
  linha 1: Preo total
  linha 2: 102,00
  linha 3: 150,00
  linha 4: 75,00
<F+>
<R->

  Os clculos so feitos em frao de segundo. Nesse pouco tempo, mesmo havendo centenas de clulas preenchidas nas colunas C e D, o computador far as centenas de clculos necessrios para preencher a coluna E.
  O mais vantajoso de tudo  que as frmulas podem ser muito mais complicadas que a que usamos. Por exemplo, se, para pagar um imposto, for preciso calcular 12% do total vendido e acrescentar ainda R$3,50 a esse valor, basta digitar =0,12*C2*D2+3,50, seguido de *Enter*.
  Voc entendeu como a linguagem algbrica pode ser til nos computadores? Mostre, ento, que entendeu essa linguagem. Pegue uma calculadora e obtenha o valor do 
<p>
imposto para as trs vendas mostradas na tabela anterior.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<239>
<p>
 Captulo 12

 Permetros, reas e volumes

<R+>
_`[{o contedo deste captulo bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea 
orientao ao professor_`]
<R->

 Permetros e reas

  Voc conhece o metro quadrado, o centmetro quadrado e sabe calcular rea de retngulos. Com esses e outros conhecimentos, resolver novos problemas sobre reas, a comear pelos que so propostos nesta Ao.

 Ao

 A geometria do tangram

  O tangram, que talvez voc j conhea,  um jogo chins muito antigo que contm sete peas, com as quais voc cria figuras. Mas voc no vai quebrar a cabea montando figuras. O objetivo  fazer um estudo matemtico das peas desse jogo.

<R+>
_`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

 1 atividade

  Para construir um tangram, faa um quadrado em uma cartolina, cujo lado mea 20 cm. Trace as linhas de acordo com as indicaes.

_`[{figura no adaptada_`]

<240>
  Depois, recorte as peas deste modo.

_`[{figura no adaptada_`]

  Indique as peas do jogo como no desenho _`[no adaptado_`].
<p>
<R+>
_`[{a professora diz: "*Tg* indica um tringulo grande e *P*, o paralelogramo. O resto voc descobre"_`]
<R->

 2 atividade

<R+>
 a) Com as duas peas Tp, voc consegue cobrir o quadrado Q. Represente isso com um desenho no caderno.
 b) Com as duas peas Tp, cubra tambm o tringulo Tm. Depois, com as mesmas peas, cubra o paralelogramo P. Faa os desenhos correspondentes no caderno.
 c) Pode-se cobrir, de trs maneiras diferentes, um tringulo Tg usando trs peas do tangram. Encontre duas dessas maneiras e anote os resultados no caderno.
<R->

<241>
 3 atividade

  Ao fazer a atividade anterior, Ceclia fez algumas descobertas:

<R+>
_`[{a menina diz: "Este ngulo do tringulo Tp  metade do ngulo reto do quadrado. Ento ele mede 45"_`]
<R->

  Raciocinando como ela, voc pode descobrir quanto medem os ngulos de cada uma das peas do tangram. Faa isso e registre suas concluses por meio de desenhos.

 4 atividade

  Ceclia tambm fez descobertas sobre a rea das peas do tangram.
<R+>
 a) Vamos combinar que a rea do quadrado Q  1. No caderno, copie e complete a tabela:
<p>
 !::::::::::::
 l pea _ rea _
 r::::::w::::::w
 l Tg  _ '''  _
 r::::::w::::::w
 l Tm  _ '''  _
 r::::::w::::::w
 l Tp  _ '''  _
 r::::::w::::::w
 l Q   _ 1   _
 r::::::w::::::w
 l P   _ '''  _
 h::::::j::::::j

 b) Se a rea de Q  1, qual  a rea do "quadrado" formado pelas sete peas do jogo?
<R->

  *Ateno*: guarde as peas de seu tangram; elas sero usadas nos Problemas e exerccios para casa.

<242>
<p>
 Problemas e exerccios

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Cada quadradinho tem rea igual a 1 cm2. Encontre o valor aproximado da rea das figuras _`[no adaptadas_`].

 2. Use o quadradinho A como unidade de medida de rea. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Copie e complete a tabela no caderno.

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Figura
 2 coluna: rea
 3 coluna: Permetro
<p>
 !:::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3 _
 r:::::w:::::w:::::w
 l A  _ 1  _ 4  _
 r:::::w:::::w:::::w
 l B  _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w
 l C  _ ''' _ 20 _
 r:::::w:::::w:::::w
 l D  _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w
 l E  _ ''' _ ''' _
 h:::::j:::::j:::::j

 3. Considere o tringulo Tm do tangram construdo na Ao. Ele  um *tringulo retngulo* e tambm um *tringulo issceles*. No sabemos quanto medem os lados de Tm. Por isso, usando variveis, dizemos que dois lados medem *x* e o lado maior mede *y*. Com vrios tringulos iguais ao Tm, montamos as seguintes figuras _`[no adaptadas_`].
 a) Quais figuras tm a mesma rea que A?
 b) Quais tm a mesma rea que B?
 c) Quais tm a mesma rea que C?
 d) As figuras A e D tm a mesma rea. O permetro de A  2x+2y. O permetro de D  igual ao de A, maior ou menor que ele?
 e) As figuras A e F tm a mesma rea. Usando *x* e *y*, d o permetro de cada uma e diga se so iguais.
 f) Compare as figuras C e E. O que voc nota com relao s suas reas? E com relao aos seus permetros?

 Procure no dicionrio: tringulo retngulo, tringulo issceles.

<243>
<p>
 4. Observe os quadrados iguais:

<F->
     $ !::::::
     _ l      _
1 m _ l  A  _
     _ l      _
      h::::::j

        $ !::::::
        _ l      _
100 cm _ l  B  _
        _ l      _
         h::::::j
<F+>

_`[{no desenho, um homem de tamanho pequeno diz: "Estas figuras no esto com seu tamanho verdadeiro. Eu tambm no estou!"_`]

 a) D a rea do quadrado A em metro quadrado e a do quadrado B em centmetro quadrado.
 b) Considerando que os quadrados A e B so iguais, responda: 1 m2 equivale a quantos centmetros quadrados?
<p>
 5. Uma superfcie de 8 m2 de rea vai ser coberta por ladrilhos quadrados com 20 cm de lado. Quantos ladrilhos sero necessrios para isso? Despreze a pequena fresta que se costuma deixar entre ladrilhos.

 6. Responda:
 a) Em quilmetros quadrados, qual  a rea de um quadrado com 1 km de lado?
 b) Em metros quadrados, qual  a rea de um quadrado com 1.000 m de lado?
 c) Com base nas respostas dos itens anteriores, responda: 1 km2 equivale a quantos metros quadrados?

 7. No caderno, copie e complete:
 a) 2 km2=''' m2
 b) 2,5 km2=''' m2
 c) 0,7 km2=''' m2
 d) ''' km2=4.000.000 m2
 e) ''' km2=400.000 m2
 f) ''' km2=40.000 m2

 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 8 a 12, pea orientao ao professor_`]

 8. Decompondo um quadrado de 20 cm de lado, obtive as sete peas de um tangram.

<F->
  20 cm
 ::::::::
 !::::::
 l      _
 l  A  _
 l      _
 h::::::j
<F+>

 a) Qual  o permetro desse quadrado em centmetros?
 b) Qual  sua rea em centmetros quadrados?

 9. Com as peas do tangram do exerccio anterior, fiz um hexgono _`[no adaptado_`].
 a) Qual  a rea do hexgono que fiz?
<p>
 b) Copie o hexgono em seu caderno e d a medida de cada um de seus ngulos.

<244>
 10. Escolha uma destas figuras _`[no adaptadas_`].
  Nas trs figuras, o tringulo verde  um Tg.
 a) Monte a figura escolhida usando as sete peas de seu tangram. Depois, desenhe o resultado obtido. *Dica*: em cada figura, h uma pista para come-la.
 b) Anote, no desenho, quanto mede cada ngulo da figura.
 c) Mea os lados e d, em centmetros, o permetro aproximado da figura que voc montou.
 d) Qual  a rea de sua figura em centmetros quadrados? *Dica*: voc sabe qual  a rea do quadrado que deu origem s peas do tangram.

 11. Agora, um desafio! Suponha que o "quadrado" formado com todas as peas do tangram tenha lados de 20 cm. A rea de cada pea  uma frao da rea do "quadrado". Pensando nisso, copie e complete a tabela no caderno:

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Pea
 2 coluna: Frao da rea do "quadrado"
 3 coluna: rea em cm2

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l 1  _     2     _   3   _
 r::::::w:::::::::::::w:::::::::w
 l Tg  _ '''         _ 100    _
 r::::::w:::::::::::::w:::::::::w
 l Tm  _ #,h         _ '''     _
 r::::::w:::::::::::::w:::::::::w
 l Tp  _ '''         _ '''     _
 r::::::w:::::::::::::w:::::::::w
 l Q   _ '''         _ '''     _
 r::::::w:::::::::::::w:::::::::w
 l P   _ '''         _ '''     _
 h::::::j:::::::::::::j:::::::::j

 12. Outro desafio! Usando as sete peas do tangram, monte uma das figuras seguintes e faa um desenho para mostrar como as peas foram organizadas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 13. Considere estes quadrados:
<F->
rea I

       $ pcc
 1 cm _ l  _
       _ v--#

rea II

       $ yy
10 mm _ yy
       _ yy
<F+>

 a) D a rea de I em centmetros quadrados e a rea de II em milmetros quadrados.
 b) Observando que os quadrados I e II so iguais, responda: 
<p>
  1 cm2 corresponde a quantos milmetros quadrados?

 14. Copie e complete em seu caderno:

 !::::::::::::::::::::
 l rea     _ rea     _
 l em cm2 _ em mm2 _
 r::::::::::w::::::::::w
 l 2       _ 200     _
 r::::::::::w::::::::::w
 l 5       _ '''      _
 r::::::::::w::::::::::w
 l '''      _ 1.000   _
 r::::::::::w::::::::::w
 l 3,8     _ '''      _
 r::::::::::w::::::::::w
 l '''      _ 7.500   _
 r::::::::::w::::::::::w
 l '''      _ 5       _
 h::::::::::j::::::::::j

 15. Veja as informaes impressas na embalagem e responda: quantos azulejos, aproximadamente, h na caixa?

_`[{figura adaptada: Caixa de papelo "Cermica Barro Vermelho" com as seguintes informaes: "Metragem 1,5 m2; Tamanho 15 cm15 cm"_`]
<R->

<245>
 Volumes

  Nas construes, os engenheiros calculam reas para saber, por exemplo, quantos metros quadrados de ladrilhos sero usados em determinado ambiente. Alm de reas, eles calculam volumes.
  Veja o problema deste engenheiro:

<R+>
_`[{o engenheiro, com uma foto do terreno em uma das mos, diz: " neste terreno que vamos construir o prdio. Mas antes precisamos aplain-lo. 
Vai ser preciso tirar de l um grande volume de terra. Quantos caminhes sero necessrios?"_`]
<R->
<p>
  Ele precisa saber qual  o volume de terra a ser retirado do terreno. Baseando-se nisso, poder calcular quantos caminhes devero ser contratados para fazer o servio.
  Neste momento, no vamos calcular o volume de terra, porque ainda nem vimos como se mede um volume.

<R+>
_`[{o menino pergunta: "Como se pode medir um volume?". A professora diz: "As unidades de rea so quadrados, no ?". O menino diz: 
"E as unidades de volume?". A professora diz: "So cubos!"_`]
<R->

  Um cubinho com arestas de 1 cm tem o volume de 1 centmetro cbico (1 cm3).
<246>
  Agora, imagine um cubo com arestas de 1 dm, ou seja, 10 cm. Seu volume  1 decmetro cbico (1 dm3). Essa unidade, com outro nome,  muito usada para indicar a capacidade de recipientes: 1 decmetro cbico  o mesmo que 1 litro!

<R+>
_`[{um menino segurando 1 litro de refrigerante e uma caneca diz: "No acredito! Todo refrigerante da 
embalagem de 1 litro cabe nessa caneca cbica com 10 cm de aresta?"_`]

 1 dm3=1 L
<R->

  Um grande cubo com arestas de 1 m tem volume de 1 metro cbico (1 m3).

<R+>
_`[{um homem olhando uma caixa cbica com aresta de 1 m cheia de gua diz: "Esta caixa cbica tem 1 m de aresta. Aqui dentro cabe 
1 m3 de gua"_`]
<R->

  A gua consumida em nossas casas costuma ser medida com essa unidade (metro cbico), como se pode observar nas contas de gua.
<247>
<p>
  Agora que voc conhece as principais unidades de volume, talvez possa descobrir quantos centmetros cbicos cabem em 1 decmetro cbico. Para isso, examine com ateno esta figura:

<R+>
_`[{a menina apontando para uma figura formada por cubinhos, com comprimento e largura de 10 cm e altura 5 cm, diz: "Metade da 
altura do cubo de 1 dm3"_`]
<R->

  Esse bloco retangular  metade de um cubo de 1 dm3. Ele foi montado com cubinhos de 1 cm3. Voc consegue descobrir quantos cubinhos ele contm?

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a)  difcil, mas tente responder: o que  volume de um objeto? Por exemplo: o que  o volume de uma tora de madeira?
 b) No texto, foi apresentada uma situao prtica, na qual  pre-
<p>
  ciso calcular um volume. Que situao  essa?
 c) D exemplos de volumes expressos em decmetros cbicos (ou litros) e em metros cbicos.
 d) Voc conseguiu contar quantos cubinhos de 1 cm3 cabem no bloco de 0,5 dm3? Ento, responda: um decmetro cbico corresponde a quantos centmetros cbicos?
 e) D exemplos de volumes que so expressos em centmetros cbicos.
 f) Como voc imagina que o engenheiro poderia descobrir o volume de terra a ser retirado do terreno?
<R->

<248>
 Problemas e exerccios

<R+>
 16. As pilhas foram montadas com cubos de 1 cm3. A pilha A, por exemplo, tem 6 cm3 de volume. Obtenha o volume de cada uma das demais.

_`[{o menino diz: "No h cubinhos escondidos atrs destas pilhas"_`]

_`[{seis figuras adaptadas_`]
 a- seis cubinhos
 b- onze cubinhos
 c- nove cubinhos
 d- sete cubinhos
 e- dezoito cubinhos
 f- dezoito cubinhos

 17. Este bloco retangular  formado por apenas uma camada de cubinhos de 1 cm3 cada um:

_`[{figura com 4 cm de comprimento, 4 cm de largura e 1 cm de altura_`]

 a) Qual  seu volume?
 b) Qual  o volume do bloco retangular formado por duas camadas iguais a essa?
 c) Quantas dessas camadas devem ser colocadas, umas sobre as outras, para formar um cubo? Qual seria o volume desse cubo?
<p>
 d) Juntando vrias dessas camadas, montamos o bloco retangular a seguir. Qual  seu volume?

_`[{figura com 4 cm de comprimento, 4 cm de largura e 6 cm de altura_`]

 18. Observe a figura:

_`[{figura formada por cubinhos: comprimento: 10 cm=1 dm, largura: 10 cm=1 dm e altura: 10 cm=1 dm_`]

  Agora responda:
 a) 1 dm3 equivale a quantos centmetros cbicos?
 b) 1 cm3 equivale a quantos mililitros?

 Resoluo

 a) No texto, vimos um bloco retangular que  a metade de um cubo de 1 dm3. Em cada uma de suas 5 camadas, ele tem 100 cubinhos de 1 cm3, o que d, no total, 500 cm3. Portanto, um cubo de 1 dm3, como esse representado na figura anterior, tem 1.000 cm3.
  Concluso: 1 dm3=1.000 cm3.
<249>
 b) Um mililitro, como indica o nome,  a milsima parte do litro, ou seja, 1 litro equivale a 1.000 mililitros:
1 L=1.000 mL.
  Um litro tambm equivale a 1 dm3 ou a 1.000 cm3. Isto , 1 L=1.000 cm3.
  Logo: 1.000 cm3=1.000 mL.
  Portanto: 1 cm3=1 mL.

 19. No caderno, copie e complete:
 a) 2,5 dm3=''' L
 b) 3,2 dm3=''' cm3
 c) 0,7 dm3=''' mL
 d) 7,5 cm3=''' mL
 e) 290 cm3=''' dm3
 f) 330 mL=''' L
<p>
 20. As dimenses internas dessa jarra cbica _`[no adaptada_`] so: 10 cm, 10 cm e 15 cm.
 a) Quantos decmetros cbicos de gua ela pode conter? *Dica*: mais que 1 dm3 e menos que 2 dm3.
 b) Estando vazia, quantas garrafas inteiras, com 290 mL de gua cada uma, posso despejar na jarra, sem que haja transbordamento?

 Problemas e exerccios para casa

 21. Veja algumas maneiras de agrupar 6 caixas de aveia:

_`[{quatro figuras adaptadas_`]
 A- Seis caixas de aveia, uma atrs da outra, com largura de 15 cm.
 B- Seis caixas de aveia, uma ao lado da outra, com largura de 7 cm.
<p>
 C- Duas colunas com trs caixas de aveia cada uma e a altura de 22 cm.
 D- Trs colunas com duas caixas de aveia em cada uma.

 a) Algum dos blocos tem maior volume que os outros? Por qu? 
 b) Com base nas medidas indicadas nas figuras, descubra o comprimento, a largura e a altura de cada um dos quatro blocos.
 c) O bloco A ser envolvido com uma pelcula de plstico transparente. Quantos centmetros quadrados desse material sero gastos na embalagem?
 d) Que rea dessa pelcula ser necessria para embalar cada um dos outros blocos?

<250>
 22. As pilhas foram montadas com cubinhos de 1 cm3. D o volume de cada uma:

_`[{o menino diz: "No h cubos escondidos atrs das pilhas". Trs figuras adaptadas_`]
 A: 21 cubinhos
 B: 12 cubinhos
 C: 24 cubinhos

 23. Veja o bloco de uma s camada:

_`[{figura com 6 cm de comprimento, 6 cm de largura e 1 cm de altura_`]

 a) Qual  seu volume?
 b) Quantas dessas camadas devo superpor para obter um cubo?
 c) Qual  o volume desse cubo em centmetros cbicos?
 d) Qual  o volume desse cubo em decmetros cbicos?

 24. D o volume de cada um dos blocos retangulares em decmetros cbicos e em centmetros cbicos:

_`[{trs figuras adaptadas_`]
 A: comprimento: 10 cm; largura: 10 cm e altura: 10 cm
 B: comprimento: 10 cm; largura: 10 cm e altura: 5 cm
 C: comprimento: 10 cm; largura: 10 cm e altura 12 cm

 25. Nas contas de gua de muitas cidades, podemos ver uma tabela como esta:

<F->
::::::::::::::::::::::::::::::::
 faixas de      _ tarifas        
 consumo        _ em R$     
 em m3      _                
::::::::::::::::w::::::::::::::::
 at 10        _ 10,27 (valor        
                _ mnino)
::::::::::::::::w::::::::::::::::
 de 10 at 20 _ 1,60 por m3 
::::::::::::::::w::::::::::::::::
 de 20 at 50 _ 4,00 por m3
::::::::::::::::w::::::::::::::::
 acima de 50   _ 4,41 por m3
::::::::::::::::j::::::::::::::::
<F+>

  Nela, notamos que, se consumimos 5 m3 ou 8,5 m3 ou 10 m3, pagamos o mesmo valor: R$10,27, que  a tarifa mnima. Entretanto, a partir do 10 metro cbico, pagamos uma quantia varivel por metro cbico consumido. Assim, por 33,5 m3 devemos pagar em reais, considerando apenas a gua: 10,27+101,60+13,54,00.
  Entretanto, essa gua, depois de usada, transforma-se em esgoto, que precisa ser tratado antes de voltar  natureza. Por isso, nas ruas em que h coleta de esgotos, as companhias de abastecimento costumam cobrar pelo tratamento um valor igual ao pago pelo consumo da gua. Somando tudo, temos o total a pagar.
 a) De acordo com os dados da tabela, quanto deve pagar uma famlia que consumiu 12 m3 no ms e mora numa rua onde no h coleta de esgotos?
 b) Que total deve pagar uma famlia que consumiu 44 m3 no ms e mora numa rua onde h coleta de esgotos? E qual seria esse total se o consumo fosse 60 m3?

 26. Dona Vera foi ao supermercado comprar 4 garrafas de 1 L de refrigerante, mas s encontrou garrafas de 290 mL. Quantas dessas garrafas ela deve levar para ter, aproximadamente, a quantidade que deseja?
<R->

<251>
 Volume do bloco retangular

  Para obter o volume de um bloco retangular, contamos quantos cubos unitrios ele contm. Mas a contagem dos cubinhos no precisa ser feita um a um porque podemos usar a multiplicao. Veja:

<R+>
_`[{duas figuras adaptadas_`]
 1 figura: O bloco todo -- comprimento: 8 cm, largura: 3 cm e altura: 5 cm
 2 figura: Uma das camadas do bloco -- comprimento: 8 cm, largura: 3 cm e altura: 1 cm
<R->

  Numa camada, h 8.3 cubinhos.
  Multiplicando essa quantidade pelo nmero de camadas, temos o total de cubinhos. So 8.3.5 cubinhos.
  Logo, o volume desse bloco : 8 cm.3 cm.5 cm=120 cm3.
  Esse mesmo raciocnio poderia ser feito para um bloco retangular de dimenses 9,25 e 17 ou para um de dimenses 48, 15 e 22. Podemos fazer uma *generalizao*: para encontrar o volume de um bloco retangular, basta multiplicar as medidas do comprimento, da largura e da altura.

<R+>
 Procure no dicionrio: generalizao.

_`[{a professora mostra no quadro-
  -de-giz o desenho de um bloco retangular com comprimento *c*, largura *l* e altura *a*; abaixo do bloco: "v=c.l.a"; ela diz: "Esta 
 a frmula do volume do bloco retangular". Ao lado h o desenho de um cubo com comprimento, largura e altura iguais a *a*; abaixo 
do cubo: "v=a#c"; ela diz: "No caso do cubo, a frmula  assim"_`]
<R->

<252>
  Usando a frmula do volume do cubo, podemos descobrir quantos decmetros cbicos cabem em 1 metro cbico. Observe:

<R+>
_`[{a professora mostra um cubo e diz: "Este cubo tem arestas de 10 dm ou, se voc preferir, arestas de 1 m. Vamos calcular seu 
volume em decmetros cbicos e em metros cbicos_`]

  Volume do cubo em decmetros cbicos: (10)3 dm3=1.000 dm3.
  Volume do cubo em metros cbicos: 1 m3.
  Concluso: 1 m3=1.000 dm3.
<p>
 Conversando sobre o texto

 a) A frmula do volume do bloco retangular pode ser usada para calcular o volume de um cubo? Por qu?
 b) Quantos litros cabem em 1 metro cbico?
 c) Imagine um tanque do tamanho desta sala de aula. Qual seria sua capacidade?
 d) Suponha que uma famlia com 5 pessoas consuma cerca de 1 m3 de gua por dia. Quantos litros, em mdia, consome, por dia, cada uma dessas pessoas?
 e) Observe o trabalho do escultor. Como seria possvel calcular o volume dessa escultura 
  _`[no adaptada_`]?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 f) Imagine um bloco retangular com 5 cm de comprimento, 3 cm de largura e 10 cm de altura. Por escrito, explique como obtemos seu volume sem a frmula. Voc pode comear seu texto desta maneira: *Podemos imaginar o bloco dividido em 10 camadas, cada uma com 1 cm de altura...*.

<253>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 27 a 29, pea orientao ao professor_`]

 27. Os slidos _`[no adaptados_`] so blocos retangulares ou formados com blocos retangulares. Calcule o volume de cada um deles.

 28. Voc se lembra do problema de calcular a quantidade de terra a ser removida de um terreno, que apareceu no item anterior? Agora, voc j pode entender como o engenheiro calcula, aproximadamente, o volume de terra a ser removido. A figura _`[no adaptada_`] ajuda a compreender como ele pensa.
  Usando a imaginao, o engenheiro substitui a forma do morro por um bloco retangular adequado, de modo que haja compensaes. Note que parte do morro est fora do bloco, mas, em outra parte, o bloco vai alm do morro. Desse modo, o volume de terra do morro  aproximadamente igual ao volume do bloco.
 a) Quantos metros cbicos de terra tem o morro, aproximadamente?
 b) Quantas viagens de um caminho igual ao da figura _`[no adaptada_`] sero necessrias para retirar toda a terra do morro?
<p>
 29. Temos um bloco retangular de vidro totalmente fechado, com gua dentro.

_`[{figura no adaptada_`]

  Agora, vamos virar o bloco, colocando-o em p.

_`[{figura no adaptada_`]

  Na nova posio do bloco, determine a distncia *x*.

 30. No caderno, copie e complete:
 a) 6,5 m3=''' L
 b) 1,45 m3=''' dm3
 c) 0,75 m3=''' L
 d) 13.800 L=''' m3
 e) 1.450 L=''' m3
 f) 350 L=''' m3

<254>
 Problemas e exerccios para casa

 31. Copie e complete a tabela no caderno. Faa os clculos mentalmente.
<p>
!::::::::::::::::::::::
 l aresta do _ volume do _
 l cubo      _ cubo      _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 1        _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 2        _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 3        _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 4        _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 5        _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l 6        _ '''       _
 h:::::::::::j:::::::::::j

 32. Responda:
 a) O volume de um cubo  343 cm3. Quanto mede sua aresta?
 b) Qual  a rea total desse cubo, isto , a soma das reas de todas as suas faces?
 c) Se a aresta de um cubo mede *x* cm, como se indica seu volume?
<p>
 d) Qual  a rea total desse cubo de aresta igual a *x* cm?

 33. Calcule o volume do slido _`[no adaptado_`]. *Dica*: ele pode ser decomposto em blocos retangulares.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 34. Um aqurio, com a forma de um bloco retangular e dimenses internas de 50 cm, 25 cm e 20 cm, quantos litros de gua pode conter no mximo?
 35. Vou mergulhar uma pedra em um recipiente com a forma do bloco retangular.

_`[{figura no adaptada_`]

  Qual  o volume da pedra?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 36. Cerca de 200 caixas de um produto de limpeza foram empilhadas, formando um cubo de 1 m de aresta. Quantas dessas caixas seria preciso empilhar para formar um cubo com 2 m de aresta? Justifique sua resposta.
 37. O volume de um bloco retangular  480 cm3. Quais podem ser o comprimento, a largura e a altura do bloco? D trs possibilidades.
<R->

Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
 o calcular reas de formas geomtricas, decompondo-as ou recompondo-as;
 o explicar o que  volume e apresentar as unidades de volume mais usadas;
<p>
 o explicar como se obtm a frmula de volume do bloco retangular;
 o usar a frmula para calcular volumes de blocos retangulares.
<R->

<255>
 Um toque a mais

Um quilograma de chumbo e um de
  algodo

<R+>
_`[{um menino diz: "O que pesa mais: 1 kg de chumbo ou 1 kg de algodo?". O outro menino responde: " claro que  igual!". O primeiro 
menino diz: "Ento posso jogar qualquer um dos dois no seu p?"_`]
<R->

  Esta  uma velha histria.  claro que 1 kg de chumbo pesa o mesmo que
1 kg de algodo. Mas  melhor que caia 1 kg de algodo em nosso p em vez
de 1 kg de chumbo. Por que pesos iguais no causam o mesmo efeito?
<p>
  Primeiro, esclarecemos que o quilograma  uma unidade de medida de
massa e no de peso. Massa  quantidade de matria; peso  fora, a fora
com que a Terra atrai uma massa. No entanto, essa distino no muda o
raciocnio que faremos nessa comparao porque, num mesmo lugar, massas
iguais tm pesos iguais.
  O que realmente importa  o fato de que a matria  muito mais concentrada
no chumbo que no algodo. Isso significa que a massa de 1 kg de
chumbo ocupa muito menos espao que a mesma massa de algodo, ou seja,
1 kg de chumbo tem menor volume que 1 kg de algodo. A relao entre
massa e volume nos d pelo menos trs motivos para 1 kg de chumbo causar
mais estrago que 1 kg de algodo.

 Primeiro motivo

  Imagine as duas massas na forma de cubo. O cubo de chumbo ter menos de
5 cm de aresta. O de algodo, bem compactado, ter mais de 20 cm de aresta.
<256>
  Se os dois cubos forem soltos no espao, o de algodo cair mais
devagar. Se no houvesse ar, as velocidades de queda seriam iguais,
mas, existindo ar, ela  diferente para cada um. Por qu? Pela mesma
razo que uma folha de papel aberta cai mais devagar do que se for
amassada formando uma bolinha, embora a massa no mude. A folha
aberta tem uma rea maior enfrentando a resistncia do ar.
  Portanto, por causa da resistncia do ar, o cubo de algodo cai
sobre nosso p com velocidade menor, o que diminui seu impacto.

 Segundo motivo
  
  Mesmo ignorando a resistncia do ar, o maior volume do cubo de algodo
torna seu choque mais suave. O cubo de chumbo, caindo em nosso p, exerce
uma fora sobre uma superfcie de rea pequena (a face de baixo do cubo), e
nossos ossos podem se partir. O cubo de algodo pode exercer a mesma fora,
mas ela se distribui numa superfcie de rea muito maior do que a do nosso p.
Nesse ltimo caso, nossos ossos podem perfeitamente resistir ao impacto.

 Terceiro motivo

  Por causa de sua maior concentrao de matria, o cubo de chumbo no se deforma
quando bate em nosso p. No algodo  diferente. H muito ar entre as fibras,
de modo que ele se deforma no choque, absorvendo parte do impacto.

  Demos trs motivos para explicar os efeitos diferentes de 1 kg de chumbo e
de 1 kg de algodo caindo sobre nosso p. Voc deve ter reparado que os trs
dependem da relao entre massa e volume, ou seja, da concentrao da matria.
Essa ideia pode-se tornar precisa por meio de recursos matemticos.
  As concentraes de matria variam muito nos diversos materiais existentes,
ou seja, massas iguais tm volumes diferentes, que dependem do material.
Para exprimir a relao entre massa e volume das substncias, criou-se o
conceito de densidade, que  obtida dividindo-se uma massa por seu volume.
Portanto, a densidade  uma razo: densidade = massa g  volume cm3.
  Por exemplo, no caso do chumbo puro, qualquer massa, dividida pelo volume correspondente,
equivale a 11,35 g/cm3. Se voc tiver o dobro de massa, ter o dobro de
volume; e assim por diante. Um pequeno cubo de chumbo, com 10 cm de aresta, ter
nada menos que 11 quilogramas e 350 gramas! O algodo tem uma densidade que
depende de sua compactao. Quando bem compactado, sua densidade  0,1 g/cm3.
<p>
<R+>
 Mostre que voc entendeu: descubra a massa de um "tijolo" de ouro puro, com a forma de um bloco retangular de 10 cm por 20 cm por 5 cm. Informao: a densidade do ouro  19,3 g/cm3.
<R->

  Chegamos ao final da histria. Voc deve ter notado que tivemos de usar vrios
conceitos matemticos (rea, volume, razo, medida etc.) apenas para explicar as
diferenas entre os efeitos de 1 kg de chumbo e de 1 kg de algodo. O que isso quer
dizer? Simplesmente que a Matemtica  uma ferramenta valiosa para explicar os
fatos do mundo, talvez to importante quanto a lngua que falamos e escrevemos.

               oooooooooooo

<257> 
<p>
 Captulo 13

 Equaes

 Letras para achar nmeros
  desconhecidos

  O professor Jak props o seguinte desafio para a classe:

<R+>
_`[{o professor diz: "Pensei num nmero. Multipliquei por 7. Somei 15. Deu 71; adivinhe o nmero". A menina responde: "Eu sei resolver! Eu fao 
as operaes ao contrrio"_`]
<R->

  Bia descobriu o nmero pensado fazendo as operaes inversas. Veja suas anotaes:
<R+>
 y7  igual y+15  igual a 71
 71-15=56
 567=8
 O nmero  8.
<R->
  Jak elogiou a resoluo da aluna. Depois, disse que ia mostrar outro modo de resolver o problema, usando o mesmo raciocnio.
  O nmero desconhecido  representado por uma letra, por exemplo, *n*. As operaes feitas com ele so indicadas desta maneira:
<R+>
 7.n+15=71
 7.n -- nmero pensado multiplicado por 7...
 +15 -- e somado a 15...
 =71 -- resultando em 71.
<R->
<258>
  Na sentena obtida, descobre-se o valor de *n* desfazendo as operaes indicadas. Comeamos pela adio:
 7.n+15=71
 7.n=71-15
 7.n=56
  Depois, desfazemos a multiplicao:
 n=567
 n=8
  Para desfazer cada operao, efetuamos a operao inversa.

<R+>
_`[{a menina diz: " o mesmo raciocnio que fiz. Qual  a vantagem desse outro modo?". O professor diz: "Voc tem razo: nos dois 
casos usamos as operaes inversas. Mas voc vai ver que o uso de letras pode ser vantajoso"_`]

 Conversando sobre o texto

 a) Comente o dilogo do final do texto. Ser que as duas resolues usam o mesmo raciocnio?
 b) Considere a sentena 3.x-8=
  =31. Explique o que devemos fazer para achar o valor de *x*.
 c) Por que na sentena 3.x-8=
  =31 no comeamos desfazendo a multiplicao?
 d) Voc consegue resolver o desafio proposto pelo professor Jak de uma terceira maneira?

 Problemas e exerccios

 1. Encontre o valor de *n* como no exemplo dado no texto pelo professor Jak:
 a) 11.n+77=132
 b) 7.n-17=200
 c) 4.n+5=7
 d) 8.n+52=12
 e) n3-7=-2 (Ateno neste caso!)
 f) n~3-7=-2

<259>
 2. Veja mais um problema proposto pelo professor Jak:

_`[{o professor diz: "Pensei em um nmero. Multipliquei-o por 8 e, ao resultado, somei 32. Deu zero! Em que nmero pensei?"_`]

 a) Escreva uma sentena para representar o que o professor disse, indicando com *m* o nmero pensado.
 b) Encontre o valor de *m*.

 3. Um nmero  somado com 17 e o resultado  multiplicado por 15. No final, obtm-se 60. Qual  o nmero?
<p> 
 Resoluo

  O nmero desconhecido  *x*.
  Primeiro, somamos 17x+17.
  Agora, como multiplicar o resultado x+17 por 15?
  A soluo  usar parnteses: 15.x+17.
  Portanto, a sentena : 15.x+17=60.
  Para encontrar o valor de *x*, podemos distribuir a multiplicao, obtendo um tipo de sentena j conhecida:
 15.x+17=60
 15.x+255=60
 15.x=60-255
 15.x=-195
 x=-19515
 x=-13
  O nmero pensado  -13.

 4. Minha calculadora enlouqueceu! Se eu digito um nmero, ela soma a ele o nmero 2 e multiplica o resultado por 4. Observe: Digito 1... e aparece 12.
  Eu digitei um nmero decimal *x* e apareceu 13 no visor.
 a) Escreva a sentena que descreve o que a calculadora fez.
 b) Descubra que nmero  *x*. *Ateno*: trata-se de um nmero com vrgula.

 5. Leia:

_`[{a menina diz: "Eu tenho *x* reais. Meu irmo tem 10 a mais que eu". O menino diz: "Juntos, temos 17 reais"_`]

 a) Usando *x*, escreva uma sentena matemtica que mostre quanto os dois tm juntos.
 b) Encontre o valor de *x*.
 c) Diga quanto tem cada criana.

<260>
 Problemas e exerccios para casa

 6. Obtenha o valor de *y*:
 a) 3.y+10=-2
 b) 7.y-92=13
<p>
 c) 3.2.y+1=7
  *Dica*: vai aparecer um termo igual a 6.y.
 d) 2.y+4.y+y=3,5
  *Dica*: 2 vezes uma quantidade, mais 4 vezes essa quantidade, mais ela prpria resulta em 7 vezes a quantidade.
 e) 3.y+7-5.y=17

 7. Uma montadora tem dois modelos de certo veculo: o *sedan* (ou "carro de passeio" com 4 portas) e a perua. O segundo modelo custa R$7.000,00 a mais que o primeiro. Se os dois juntos custam R$52.000,00, qual  o preo do *sedan*?
  *Dica*: represente por *x* o preo do *sedan* e por x+7.000 o da perua.

 8. Faa o que se pede.
 a) Responda: como devemos indicar o consecutivo do nmero natural *n*?
<p>
 b) Escreva uma sentena com *n* para indicar que a soma de dois *nmeros consecutivos*  73.
 c) Obtenha o valor de *n* na sentena que voc escreveu e diga quais so os dois nmeros consecutivos que somam 73.

 Procure no dicionrio: nmeros consecutivos.

 9. O volume de um bloco retangular  28 m3. Seu comprimento  4 m, e sua largura, 2 m. Qual  sua altura?
  O volume de um bloco retangular  o produto de suas trs dimenses. Portanto, V=c.l.a.
  Neste caso: 28=4.2.a.
  Essa  uma sentena com um nmero desconhecido, que  a altura do bloco. Sabemos como encontrar esse nmero:
 4.2.a=28
 8.a=28
 a=288=3,5 
<p>
  A altura do bloco  3,5 m (trs metros e meio).

 10. Descubra os valores de *x* e de *y* nestes blocos retangulares:

_`[{duas figuras adaptadas_`]

 a) bloco retangular: 
  Volume =14.850 cm3
  comprimento: 45 cm, largura: *x* e altura: 22 cm
 b) bloco retangular: 
  Volume =1.764 cm3
  comprimento: *x*, largura: 9 cm e altura: 14 cm
<R->

<261>
 Usando letras para resolver
  problemas

<R+>
_`[{a menina diz: "Voc disse que ia me mostrar a vantagem de usar letras em problemas!". O professor diz: "E vou mostrar!  s voc 
tentar resolver o prximo quebra-cabea!"_`]

 Maria deu a Clara a mesma quantia que Clara j possua. Cada uma ficou com 368 reais. No comeo, quanto Clara tinha?
<R->

  Bia achou confuso esse problema. Ele fica mais simples se usarmos uma letra para representar a quantia desconhecida. Observe:
<R+>
  Chamamos *x* a quantia que Maria deu a Clara.
  Como j possua uma quantia igual, Clara ficou com x+x. Sabemos que, no final, ela ficou com 368 reais. Ento, podemos escrever:
 x+x=368
 2.x=368
 x=3682
 x=184
<R->
  No incio, Clara possua 184 reais.
  No captulo 11, voc aprendeu que usamos letras para escrever frmulas. Esse procedimento  a maneira mais resumida de comunicar ideias matemticas. No momento, estamos usando letras para indicar o nmero desconhecido de um pro-
 blema na tentativa de facilitar sua resoluo.
  Agora, um pouco de histria da matemtica.
  O uso de letras comeou com matemticos rabes h 1.200 anos. Um dos motivos para que isso acontecesse foi que, naquela poca, repartir uma herana podia ser um grande problema por causa das regras complicadas que eram utilizadas.
  Veja a seguir um exemplo desses problemas de herana.

<R+>
 "Meus 45 camelos sero dados a meus filhos.
 O filho do meio ter o dobro do caula. O mais velho o triplo do caula mais 3."

 El Habib
<R->

<262>
  Resolv-lo significa descobrir quantos camelos cada filho receber. Comeamos chamando *x* a menor parte, que  a do caula. Em consequncia, a parte do filho do meio ser 2.x e a parte do mais velho, o triplo de *x* mais 3, ou seja,...
  Vamos parar por aqui, seno resolveremos o problema e no queremos fazer isso. Quem deve resolv-lo  voc, para exercitar o raciocnio matemtico!

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) No problema proposto no texto, Clara possua R$184,00. E quanto possua Maria?
 b) Veja este problema: "Pedro deu a Jonas o dobro do que Jonas possua. Cada um deles ficou com R$126,00. Quanto Jonas tinha inicialmente?". Qual  a sentena com letras que resolve este problema?
 c) O texto explica como comeou o uso de letras na Matemtica. O que voc entendeu sobre isso?
 d) Na verdade, no incio de suas descobertas, os matemticos rabes no indicavam o nmero desconhecido com uma letra, e sim com uma palavra inteira. Era mais ou menos desta maneira: "3 vezes uma quantia mais 7 d 22".
  Nessa sentena, como eu descubro o valor de "quantia"?
 e) Vamos pensar no problema dos camelos. Sendo *x* a parte do caula, como indicamos a parte do filho do meio? E a do filho mais velho?
 f) Escreva a sentena que relaciona as partes dos irmos com o total de camelos.
 g) Leia a histria em quadrinhos:

_`[{histria em quatro quadrinhos_`]
 1 quadrinho: A menina l: "Indo da cidade A pra cidade D, voc passa primeiro pela cidade B e depois pela cidade C".
 2 quadrinho: A menina continua: "Entre A e B, h 10 milhas a mais do que de B para C, e 10 milhas a mais de B para C do que de C para D. Se de A a D so 390 milhas, qual  a distncia entre A e B?".
 3 quadrinho: A menina diz: "Bem, eu sabia que isso ia acontecer...". Uma colega pergunta: "Que que houve?".
 4 quadrinho: A menina responde: "A minha educao chegou a um impasse!".

  A sua educao no chegou a um impasse, certo? Ento, descubra a distncia entre as cidades A e B. *Dica*: chame a distncia {c{d de *x*; a distncia {b{c ser x+10, e a distncia {a{b ser...

<263>
 Problemas e exerccios

 11. Dei a Mrio a mesma quantidade de figurinhas que ele tinha. Cada um de ns ficou com 
<p>
  150. Quantas ele tinha antes? E eu?
 12. Volte ao problema dos camelos proposto no texto. Encontre o valor de *x* na sentena que voc escreveu para o problema. Depois, calcule quantos camelos cada filho receber.
 13. Distribua uma herana de 342 moedas de ouro entre 
  Harum, Mustaf e Ibn-Saud, trs herdeiros rabes, de modo que Harum receba *x*, Mustaf o dobro de Harum e Ibn-Saud o triplo de Mustaf. (Cuidado: esse triplo no  3x!)

 14. No programa *A arca da felicidade*, do famoso animador Juju Literato, um prmio de R$270,00 foi distribudo deste modo: a menor parte para o terceiro colocado, R$50,00 a mais para o segundo colocado e o dobro desta ltima quantia para o campeo.
<p>
_`[{a coruja diz: "Ateno! Parnteses sero necessrios"_`]

 a) Escreva a sentena matemtica correspondente  situao descrita.
 b) Quanto receber cada premiado?

 15. Nas pilhas a seguir, o nmero de cada caixa  a soma dos dois nmeros que vm logo abaixo dele.
 a) No caderno, copie e preencha esta pilha. *Dica*: vo aparecer nmeros negativos.

<F->
      !:::::
      l 18 _
    !:h::::j:
    l 17_ '''_
  !:h:::j:::j::
  l 7 _ '''_ '''_ 
!:h:::j:::j:::j::
l 3 _ '''_ '''_ '''_
h::::j::::j::::j::::j
<F+>

 b) Agora um desafio! Com a sugesto dada, descubra o nmero de cada caixa:

<F->
      !:::::
      l 28 _
    !:h::::j:
    l 15_ '''_
  !:h:::j:::j::
  l '''_ '''_ '''_ 
!:h:::j:::j:::j::
l 3 _ '''_ 4 _ '''_
h::::j::::j::::j::::j
<F+>

_`[{a coruja aponta para a caixa entre o 3 e o 4 e diz: "Chame este de *x*"_`]

<264>
 Problemas e exerccios para casa

 16. Encontre o valor de *n*:
 a) 3.n+2.5.n-10=-49
 b) 2.n+3.2.n+7=13
 c) 3.n+2.n+3.n+1=10
 d) 4.n+2.n+2-10=0
 e) ?n+2*5=7 
 f) ?2.n+2*3=15

 17. Este esquema mostra como foi distribuda uma herana:

_`[{esquema adaptado_`]

<F->
!:::::::::::::::
l  85 camelos  _
h:::::::::::::::j
<F+>

 Filho mais jovem: x
 Filho do meio: 2.x+5
 Filho mais velho: x.(2.x+5)

 a) Quanto recebeu cada filho?
 b) Escreva o enunciado do problema.

 18. Crie um problema de herana como o anterior. Pode ser mais fcil ou mais difcil, voc  quem sabe. Depois, resolva-o.
 19. Descubra trs nmeros consecutivos que, somados, resultem em 131.
 20. O preo da camisa  *x*, e o da cala, o triplo do preo da camisa. Meu pai comprou 3 camisas e 2 calas, pagando R$85,50 por tudo. Qual  o preo de cada pea?

 21. Veja a planta de um quarto cujo piso retangular tem 15 m de permetro. Qual  sua largura e o seu comprimento?

_`[{figura adaptada_`]

<F->
        x
    !:::::::
    l       _
    l       _
    l       _
2x l       _ 2x
    l       _
    l       _
    l       _
    h:::::::j
        x
<F+>

 22. Um desafio! Descubra os nmeros deste *quadrado mgico* sabendo que a soma mgica  69.
<p>
<F->
!::::::  !:::::   !::::::
l '''  _  l ''' _   l x    _
h::::::j  h:::::j   h::::::j

!::::::  !::::::  !::::::
l '''  _  l x+1 _  l '''  _
h::::::j  h::::::j  h::::::j

!::::::  !::::::  !::::::
l x+2 _  l '''  _  l 26  _
h::::::j  h::::::j  h::::::j
<F+>

 Procure no dicionrio: quadrado mgico.
<R->

<265>
 Resolvendo equaes

  A parte da Matemtica que envolve letras, clculos com letras, frmulas etc.  denominada lge-
 bra. Ela nos proporciona um novo recurso para resolver certos problemas: representar o nmero desconhecido por uma letra e traduzir o enunciado do problema em uma sentena chamada equao. Veja exemplos de equaes:
 3.n+2=5
 7.x2+2=42
 ?3.y*5+2=7
  Equaes so igualdades, ou seja, nelas aparece o sinal = (igual). O nmero desconhecido representado pela letra  chamado incgnita. Ao resolver a equao, estamos procurando o nmero desconhecido, ou seja, o valor da incgnita.
  J resolvemos algumas equaes usando operaes inversas. Para resolver equaes mais complexas, precisamos de novas ideias.
  Inicialmente, vamos simplificar o registro de uma equao. Em vez de 3.n+4.n+2=5, passaremos a escrever 3n+4n+2=5, eliminando o sinal de multiplicao.

<R+>
_`[{o professor diz: "Agora, uma grande ideia! Pense na equao como uma balana de dois pratos em equilbrio"_`]
<R->
<p>
  De acordo com o professor Jak, a equao 5x+4=2x+5 pode ser associada a esta imagem:

<R+>
_`[{figura adaptada: Uma balana de pratos em equilbrio: prato da esquerda: cinco quadradinhos com a letra *x* e um quadradinho com o 
4; prato da direita: dois quadradinhos com a letra *x* e um quadradinho com o 5_`]
<R->

  Nessa balana, tirando pesos iguais dos dois pratos, o equilbrio se mantm.

<R+>
_`[{figura adaptada: Uma balana de pratos em equilbrio: prato da esquerda: trs quadradinhos com a letra *x* e um quadradinho com 
o 4; prato da direita: um quadradinho com o 5_`]
<R->

  Na equao, fazemos algo parecido: subtramos 2x dos dois lados.
<p>
 5x+4=2x+5
 3x+4=5
  Agora, com o termo em *x* em apenas um dos lados, fica fcil resolver:
 3x+4=5
 3x=5-4
 3x=1
 x=13
<266>
  Veja que relacionar a equao com uma balana ajudou a resolv-la. Nas balanas, voc pode tirar ou acrescentar pesos iguais nos dois pratos, sem alterar o equilbrio.
  Nas igualdades  parecido: voc pode somar ou subtrair um mesmo nmero dos dois lados, mantendo a igualdade. E mais: pode multiplicar ou dividir os dois lados por um mesmo nmero, mantendo a igualdade. Vamos usar essa ideia, mais uma vez, para resolver a equao 3x+x2=21.
  Para resolv-la, comeamos multiplicando os dois lados por 2. Dessa maneira, deixa de haver frao na equao, porque 2x2 d simplesmente *x*.
(Multiplicar por 2 e dividir por 2 so operaes que se neutralizam. Lembra-se
da simplificao de fraes?). Acompanhe a resoluo:
 3x+x2=21
 multiplicando por 2:
 6x+x=42
 7x=42
 x=427
 x=6
  Voc aprendeu a escrever frmulas e agora est aprendendo a resolver equaes.  o incio da lgebra. Voc pode imagin-la como uma nova lngua, alis uma lngua universal, conhecida em todos os pases.
  Uma lngua se aprende falando e conhecendo sua gramtica. A lge-
 bra possui uma "gramtica", que so suas regras e tcnicas de clculo. Isso comear a ser explorado nos prximos exerccios. Neles, voc vai praticar o que 
<p>
aprendeu, desenvolvendo habilidades de clculo algbrico.

<R+>
_`[{cinco pessoas de pases diferentes falam: "x+2"_`]
 Legenda: lgebra, uma linguagem universal.

<267>
 Conversando sobre o texto

 a) Num dicionrio de Lngua Portuguesa est registrado que incgnito, como substantivo masculino, designa aquilo que  desconhecido, secreto, enigmtico. Elabore uma frase usando a palavra *incgnito* com esse significado.
 b) O que significa a expresso algbrica 5x? Que operao est indicada nela?
 c) O que significa resolver uma equao?
 d) Relacionando uma equao com uma balana em equilbrio, o que as duas tm de parecido?
 e) Quanto  o triplo da tera parte de *m*?
 f) Voc lembra o que  simplificar uma frao? Em que lugar do texto se fez uma simplificao?
 g) Explique, s com palavras, o que deve ser feito para resolver a equao 2x+x3=7.

 Problemas e exerccios

 23. Observe a balana:

_`[{figura adaptada: Balana de pratos em equilbrio: prato da esquerda: cinco quadradinhos com a letra *x* e um quadradinho com o 3; prato da direita: 
quatro quadradinhos com a letra *x* e trs quadradinhos com o 3_`]

 a) Retire 4 pesos *x* e um peso 3 de cada prato e desenhe como a balana ficou.
 b) Qual  o valor do peso *x*? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 24. Resolva as equaes:
 a) 5x+3=4x+9
 b) 3y+7=2y+1
 c) 8m+2=6m+4
 d) 3x+1=x+1
 e) 5n+3=4n+9

 25. Agora, vamos exercitar equaes mais complicadas. Veja o exemplo:
 2-x+3=-23x+1
 2-x-3=-6x-2
 2-x-3+6x=-6x-2+6x
 2+5x-3=-2
 5x-1=-2
 5x-1+1=-2+1
 x=-15
  Ateno para a expresso -x+3.
  Pensando nela como o oposto de x+3: -x+3=-x-3
  Pensando que ela  igual a -1.x+3:
  -1.x+3=-x-3

  Pensando de uma ou de outra maneira, a concluso  a mesma e pode ser resumida nesta regra: o sinal de menos na frente dos parnteses indica que devemos trocar o sinal dos termos dentro dos parnteses.
<268>
  Agora resolva:
 a) 2-5x+2=14-x
 b) 4x=3-x+5 (Cuidado com o sinal de menos na frente dos parnteses!)

 26. Resolva as equaes:
 a) x+3x2=5
 b) 2x5-4=7x-8

 27. Um melo equivale a 1 kg mais meio melo. Quantos quilogramas tem um melo inteiro?
 28. Outro desafio. Voc no sabe resolver a equao x3+x=68. Mas tente descobrir qual destes nmeros  soluo da equao: 2, 3, 4 ou 5?

_`[{a menina diz: "2 no , porque 23 mais 2 d 10, no d 68!"_`]
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 29. Veja a novidade:

_`[{no quadro-de-giz est a equao: 
  x-2(3x-7)=3-2(3x-7)
  x-2(3x-7)+2(3x-7)=
  =3-2(3x-7)+2(3x-7)
  x=3
  O professor diz: "Voc foi esperta. Resolveu a equao em duas linhas!". A menina diz: "Essa foi bem fcil! Pode dar outra!"_`]

  O professor Jak inventou equaes que podem ser resolvidas em duas ou trs linhas. Faa como Bia e resolva estas:
 a) x-6x+5=-6x+5-3 
 b) ?x+5*97=#!ig

 30. Estas equaes no so to fceis como as anteriores e podem dar trabalho, mas tente resolv-las:
<p>
 a) 3-x+4=14+2x 
 b) 2-3y+2=7-y-2 
 c) 2+x3=6
 d) 5-t+1=7+2t
 e) 2-32m+1=7m
 f) x5+2=3x-9+1
 g) 3m2+1=8m-8
 h) 1.400-3u+182=-82

 31. Considere a equao 7x+5=x+5.
 a) Escreva 3 no lugar de *x*. Fazendo os clculos, voc obtm uma igualdade falsa. Qual ?
 b) Agora, escreva -5 no lugar de *x*. Que igualdade voc obtm?
 c) Qual  a soluo da equao: 3 ou -5? Por qu?

<269>
 32. Agora voc  quem vai inventar equaes.
 a) Escreva uma que comea assim: 3x+2+3=... 
  Complete-a para que a soluo seja 5.
<p>
 b) Crie outra que comea assim: x2+3=...  
  Complete-a para que a soluo seja 4.

 33. Qual  o nmero que, somado ao dobro de seu consecutivo, resulta em 107?
 34. Quantos anos o professor Jak tem?

_`[{o professor diz: "Some a tera parte de minha idade com 28. O resultado ser minha idade". A menina diz: "Se a idade  *x*, a tera parte  x3. Da..."_`]

  Ajude Bia a descobrir a idade dele.
 35. Aqui, temos um quadrado mgico. Primeiro, descubra o valor de *x*. Depois, copie o quadrado no caderno, completando-o com seus nmeros.
<p>
<F->
!:::::: !:::::: !::::::
l 10  _ l '''  _ l x    _
h::::::j h::::::j h::::::j

!:::::: !:::::: !::::::
l '''  _ l x+1 _ l '''  _
h::::::j h::::::j h::::::j

!:::::: !:::::: !::::::
l x+2 _ l '''  _ l x+4 _
h::::::j h::::::j h::::::j
<F+>

 36. Cada sorvete tem massa *s*, cada queijo tem massa *q* e cada iogurte, *i*.

_`[{figuras adaptadas_`]
 Pesagem 1:
 balana de pratos em equilbrio: prato da esquerda: dois potes de 
  sorvete; prato da direita: quatro queijos.
 Pesagem 2:
 balana de pratos em equilbrio: prato da esquerda: dois queijos; 
  prato da direita: quatro garrafas de iogurte.

 a) No caderno, copie e complete:
  Na pesagem 1, 2s=''' ou s='''
  Na pesagem 2, 2q=''' ou q='''
 b) A massa *s* equivale a quantas massas *i*?
<R->

<270>
Regra de trs

  Vamos recordar a noo de proporcionalidade.
  Quando duas grandezas so diretamente proporcionais, os valores correspondentes podem ser colocados numa tabela na qual dois padres podem ser observados:
<R+>
 o multiplicando os valores de uma linha por um nmero adequado, obtemos os valores da segunda linha;
 o os valores da coluna da direita so os valores da coluna da esquerda multiplicados sempre por um nmero. 
<R->
  Aqui, vamos explorar s o primeiro desses padres. Observe a tabela:
<p>
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ 11 _
 r:::::w:::::w
 l 18 _ 33 _
 h:::::j:::::j

  Como diviso e multiplicao so operaes inversas, podemos encontrar nessa tabela padres relativos  diviso. Veja: 186=
 =3311=3, ou ento #,"f=
 =#::aa=3, ou ainda #!ah=#,,cc=
 =0,333...
  Raciocinando com base em padres multiplicativos, chegamos a esta *propriedade*: nas situaes em que h proporcionalidade direta, pode-se escrever uma igualdade de *razes*. Essa propriedade  til para resolver, por meio de equaes, problemas que envolvem proporcionalidade. 
<p>
  o que voc ver nos exemplos seguintes.

<R+>
 Procure no dicionrio: propriedade, razo.
<R->

 Exemplo 1

  A p, de casa at minha escola, eu percorro 840 m em 11 minutos. Vou mudar de casa, e a distncia de minha nova casa  escola passar a ser 1.800 m. Quanto tempo levarei para fazer o novo trajeto, supondo que consiga manter a mesma velocidade?
  J resolvemos problemas desse tipo fazendo clculo mental. Nesse problema, porm, isso no  fcil, pois os nmeros no ajudam.

<R+>
_`[{a menina diz: "O tempo gasto  diretamente proporcional  distncia. Com esses nmeros, no consigo fazer de cabea". No caderno 
est a tabela a seguir_`]
<p>
 !::::::::::::::::::
 l tempo _ distncia _
 r:::::::w:::::::::::w
 l 11   _ 840      _
 r:::::::w:::::::::::w
 l x     _ 1.800    _
 h:::::::j:::::::::::j
<R->

   aqui que podemos usar a pro-
 priedade que apresentamos. Pelo que vimos, *x* dividido por 11  igual a 1.800 dividido por 840:
x11=1.800840.
<271>
  Escrevemos uma igualdade de razes, que no caso  uma equao. A equao resolvemos assim:
 x11=1.800840
 x=?111.800*840
  Agora, simplificamos a frao:
 x=?111.800*840=
 =?11180*84=
 =?1145*21=
 =?1115*7=
 =1657
 x=23,57...
  O novo trajeto ser percorrido em aproximadamente 23,5 minutos (23 minutos e meio ou 23 min e 30 s). Arredondando, so 24 minutos.
  A equao usada no problema anterior  chamada regra de trs, pois so usados trs nmeros conhecidos para descobrir um nmero desconhecido.
  Com a regra de trs, tambm podemos resolver problemas com grandezas inversamente proporcionais. Mas  preciso no se esquecer de um detalhe: o padro observado na proporcionalidade direta muda quando h proporcionalidade inversa.
  A tabela mostra nmeros inversamente proporcionais. Note que #!c no  igual a #h.

 !::::::::
 l A _ B _
 r::::w::::w
 l 3 _ 8 _
 r::::w::::w
 l 6 _ 4 _
 h::::j::::j

  Essas razes so consideradas inversas, pois, invertendo uma delas, passamos a ter uma igualdade: #!c=#"d=2.

Exemplo 2

  Se 2 impressoras produzem 6.000 exemplares de um livro em 2,5 horas de funcionamento, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziro o mesmo resultado?
  Escrevendo o tempo em minutos, numa tabela, temos:

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l Nmero de  _ Tempo de        _
 l impressoras _ produo min   _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::::w
 l 2          _ 150             _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::::w
 l 3          _ x                _
 h:::::::::::::j::::::::::::::::::j
<p>
  Como o nmero de impressoras  inversamente proporcional ao tempo de produo, a equao  esta: #;c=x150.
  A resoluo da equao fica por sua conta...

<272>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Usando a multiplicao, relacione os nmeros desta tabela de duas maneiras:

 !:::::::::::::
 l X   _ Y    _
 r::::::w:::::::w
 l 2,5 _ 7,5  _
 r::::::w:::::::w
 l 10  _ 30   _
 h::::::j:::::::j

 b) Relacione os nmeros da tabela anterior usando a diviso.
 c) O que  regra de trs e para que ela serve?
 d) Resolva a equao do final do texto. D a resposta em horas e minutos.
 e) Resolva mentalmente este problema: Lendo 10 pginas por dia, termino um livro em 10 dias. Lendo 20 pginas por dia, em quantos dias terminarei o livro?
 f) Resolva o problema anterior usando regra de trs.
 g) Voc acha que as equaes so teis? Para responder, lembre-se dos problemas resolvidos com equaes no decorrer deste captulo.
 h) J faz alguns anos que voc comeou a aprender Matemtica e deve ter notado que seus conhecimentos, pouco a pouco, esto se sofisticando. Por exemplo, agora at com letras voc sabe calcular. O que voc acha dessa experincia?

 Problemas

 37. Para produzir 32 queijos, de mesmo tamanho, o senhor 
  Nagib usou 48 L de leite. Para produzir 50 desses queijos, quantos litros de leite sero necessrios?
 38. Em uma corrida de Frmula 1, um piloto fazia cada volta em 1 min e 20 s, com uma velocidade mdia de 252 km/h. Mas comeou a chover e ele passou a gastar 1 min e 30 s por volta. Com chuva, qual era a velocidade mdia do carro? *Dica*: primeiro, pense se tempo e velocidade so direta ou inversamente proporcionais. *Outra dica*: expresse o tempo em segundos.
 39. Seu Tozito tem rao suficiente para alimentar suas 12 vacas durante 21 dias. Se ele precisar alimentar 2 vacas a mais, quantos dias a rao dever durar, supondo que a quantidade de rao diria  a mesma para todas as vacas?
<273> 
 40. Uma confeco produziu 200 camisetas em 3 dias, operando com 12 mquinas iguais. Agora, ser preciso produzir, tambm em 3 dias, 700 camisetas. Quantas dessas mquinas devero operar para atingir a nova produo?
 41. J existe automvel equipado com um computador que calcula quantos quilmetros o veculo ainda pode rodar com o combustvel do tanque. Faa como o computador: se h 15 L no tanque e 35 L foram gastos para rodar 417 km, quantos quilmetros o automvel ainda poder rodar?
 42. Leia:

_`[{um homem, mostrando uma foto de um prdio alto, diz para um senhor: "Um prdio como esse ns levantamos em 7 meses, com 12 pedreiros
trabalhando". O senhor diz: "7 meses  muito tempo. Precisamos do prdio em 120 dias"_`]
<p>
  Quantos pedreiros sero necessrios para o prdio ser construdo em 120 dias?
 
 Problemas para casa

 43. Faa o que se pede com base nos dados da tabela a seguir:

 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 20 _ 30 _
 r:::::w:::::w
 l 50 _ 12 _
 h:::::j:::::j

 a) Efetue as divises dando os *quocientes* na forma de nmero decimal:
#?}bj, #,;cj e #:}ab?
 b) Qual  a igualdade correta:
#?}bj=#,;cj ou #?}bj=#:}ab?
 c) Os nmeros da coluna A so direta ou inversamente proporcionais aos da coluna B?

 Procure no dicionrio: quociente.

 44. Com a velocidade de 10 km/h, um ciclista faz um percurso em 48 min. Se sua velocidade fosse 16 km/h, quanto tempo ele gastaria no mesmo percurso?
 45. Sabe-se que 8 operrios executam um trabalho em 36 dias. Supondo que a produo por operrio no se altere, quantos dias seriam necessrios para 6 operrios executarem o mesmo servio?
 46. Em uma festa, 35 convidados consumiram 42 garrafas de refrigerante. Supondo o mesmo consumo por pessoa, numa festa com 210 convidados, quantas garrafas seriam necessrias?
<274> 
 47. Uma digitadora prepara um texto de 7 pginas em 9 min e 20 s. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, quantos minutos e segundos ela gastaria num texto de 10 pginas? *Dica*: transforme 9 min e 20 s em segundos.
 48. Em minha cidade, para cada 11 torcedores do Corinthians h 6 torcedores do So Paulo. Se minha cidade tem 19.800 corintianos, quantos so os so-paulinos?
 49. A altura e o comprimento da tela dos televisores comuns tm medidas proporcionais a 3 e 4. Uma tela de 14 polegadas tem, aproximadamente, 28,6 cm de comprimento. Qual , aproximadamente, a sua altura? *Dica*: a altura *x* est para 3 assim como o comprimento 28,6 cm est para 4.

_`[{foto de uma televiso e a frase: "14 polegadas  a medida da diagonal"_`]

 50. Responda no caderno:
 a) O que  uma equao?
 b) Descreva o tipo de equao que chamamos regra de trs.
 c) O que so razes inversas?
<R->
<p>
 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  resolver equaes, usando operaes inversas;
  resolver equaes usando a tcnica de efetuar uma mesma operao dos dois lados da igualdade (imaginar a equao como uma balana);
  resolver problemas tpicos (como os de repartio e os de regra de trs) com o uso de equaes.
<R->

<275>
 Um toque a mais

O famigerado problema das
  torneiras

  Famigerado quer dizer famoso. Mas, comumente, famigerado  famoso por ser assustador. Esse  o caso do problema das torneiras.
  Esse problema matemtico foi um dos mais temidos pelos estudantes brasileiros durante boa parte do sculo XX. Algumas vezes era proposto no 5 ou no 6 ano escolar, mas ningum conseguia nem mesmo entend-lo, quanto mais resolv-lo. Professores mais experientes s o propunham a alunos mais velhos, que soubessem um pouco de equaes. Nesse estgio, a possibilidade de entend-lo era maior, embora o problema ainda fosse bastante difcil. Vamos conhecer esse "terrvel" quebra-cabea. Uma de suas verses era esta:
  Uma torneira sozinha  capaz de encher uma piscina em 12 horas. Outra torneira, tambm sozinha, faz o mesmo servio em 18 horas. Se ambas as torneiras forem abertas ao mesmo tempo, em quanto tempo a piscina ficar cheia?
  Antes que voc se afogue na piscina, avisamos que h um segredo para decifrar esse enigma. Como  nosso costume, o normal seria desafiar voc e seus colegas a descobri-lo. Mas, neste caso, vamos abrir uma exceo e contar logo o segredo, para que vocs no percam tempo e acabem ficando com raiva do problema. O segredo  verificar o que acontece na unidade de tempo. Vamos descobrir que parte da piscina ficar cheia em apenas uma hora, quando forem ligadas as duas torneiras. Comeamos verificando o que faz cada torneira separadamente.
<R+>
  Se a primeira torneira sozinha enche a piscina em 12 horas, em 1 hora ela enche #,ab da piscina, certo?
  Tambm em 1 hora, a segunda torneira sozinha enche #,ah da piscina.
  Agora,  fcil ver que as duas torneiras, juntas, em 1 h enchem #,ab+#,ah da piscina.
<R->
  Efetuemos essa adio.
  Os mltiplos de 12 so 0, 12, 24, 36, 48, ... e os mltiplos de 18 so 0, 18, 36, 54, ...
<276>
<p>
  Portanto, o mnimo mltiplo comum dos denominadores das fraes  36. Ento substitumos as fraes #,ab e #,ah por suas equivalentes com denominador 36:
#,ab+#,ah=#:cf+#;cf=#?cf
  Concluso: em 1 hora, as duas torneiras juntas enchem #?cf da piscina.
  Sabendo disso, pode-se encontrar quanto tempo leva para a piscina ficar inteiramente cheia: calcula-se o tempo necessrio para completar #,cf da piscina, depois #:!cf da piscina, que  o total.
  Outro procedimento, mais rpido,  usar uma equao. Ele  eficiente, mas  preciso perceber esta relao: o tempo de 1 hora, necessrio para encher #?cf da piscina,  justamente #?cf do tempo *t* (incgnito), necessrio para ench-la totalmente. Essa frase  traduzida por esta equao: #?cft=1 ou 5t36=1.
  Resolvendo: t=#:!e.
  O problema est praticamente terminado, mas convm saber quanto  esse tempo em horas e minutos, ou seja, devemos calcular #:!e de 1 hora. Veja: 365=7, resto 1. Portanto, #:!e h=7#,e h. Como #,e de 60 min so 12 min, o tempo procurado  7 h e 12 min.
  Achou o problema complicado? A maioria das pessoas o considera difcil quando o v pela primeira vez. Afinal, so muitos raciocnios, alguns bem sutis, com muitas ideias matemticas. Entram fraes, equaes, o sistema de medida de tempo etc.
  No entanto, compreender o problema  uma vitria para o entendimento da Matemtica e d mais chances de sucesso em estudos futuros. Para essa compreenso se concretizar, nada melhor que resolver o problema sozinho, sem ajuda. Por isso, tente resolver este outro problema (na verdade, uma verso do "famigerado problema das torneiras"):

<R+>
 Jos, profissional muito eficiente, realiza determinada tarefa em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia. Mrio, profissional mais eficiente ainda, faz a mesma tarefa em 10 dias, trabalhando o mesmo nmero de horas dirias. Trabalhando juntos 8 horas dirias, em quantos dias Jos e Mrio fariam essa tarefa?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte